Calcule as integrais indicadas abaixo. Faça gráficos e indique, em que a integral representa:
\int_{-2}^{2} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx
Estamos no contexto de cálculo de integrais definidas, usando o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar uma primitiva de x^2. Como x^2 é função par, poderíamos até usar simetria, mas faremos o cálculo completo.

Passo 2

O gráfico de y = x^2 é uma parábola com vértice em (0,0) que se abre para cima. Nos pontos de limite de integração, temos
y(-2)=4,\quad y(2)=4.
A integral representa a área da região limitada abaixo pela curva y=x^2, acima do eixo x, para x variando de -2 a 2.

Passo 3

Primeiro encontramos a primitiva de x^2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-2}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{(-2)^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{16}{3}.

Passo 4

Geometricamente, esse valor \tfrac{16}{3} é exatamente a área sob a parábola y=x^2 acima do eixo x entre x=-2 e x=2.

Resposta

\frac{16}{3}

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