Calcule as integrais indicadas abaixo. Faça gráficos e indique, em que a integral representa:
\int_{1}^{3} 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{3}5x\,dx
que é uma integral definida do conteúdo de “cálculo de integrais” e, geometricamente, representa a área sob a reta y=5x entre x=1 e x=3.

Passo 2

Vamos primeiro esboçar o gráfico de y=5x. É uma reta de inclinação positiva que passa pela origem. Entre x=1 e x=3 temos os pontos (1,5) e (3,15).
Um desenho aproximado:
y

15 ●
|
|
|
5 ●
|
───────┼────────→ x
13
A região sob essa reta, acima do eixo x, de x=1 a x=3, é um trapézio.

Passo 3

Para computar a integral, encontramos uma antiderivada de 5x. Sabemos que
\frac{d}{dx}\!\biggl(\frac{5}{2}x^{2}\biggr)=5x.
Logo, uma primitiva é
F(x)=\frac{5}{2}x^{2}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{1}^{3}5x\,dx =F(3)-F(1) =\frac{5}{2}\cdot3^{2}-\frac{5}{2}\cdot1^{2} =\frac{5}{2}\bigl(9-1\bigr) =\frac{5}{2}\cdot8 =20.

Passo 5

Geometricamente, a área do trapézio com bases f(1)=5 e f(3)=15 e altura 3-1=2 é
\text{Área}=\frac{5+15}{2}\times2=20,Á
confirmando o valor obtido pela integral.

Resposta

\int_{1}^{3}5x\,dx=20,
e esse valor representa a área da região sob a reta y=5x entre x=1 e x=3.

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