Sejam A, B e C três subconjuntos de um conjunto E. Dar uma escritura mais simples dos seguintes conjuntos :
(\overline{\mathrm{A} \cup \mathrm{B}}) \cap(\mathrm{C} \cup \overline{\mathrm{A}}).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o conjunto
(\overline{A \cup B}) \cap (C \cup \overline{A})
onde A,B,C\subset E. O conteúdo principal aqui são as Leis de De Morgan e a distributividade entre união e interseção em teoria de conjuntos.

Passo 2

Aplicamos a Lei de De Morgan à parte \overline{A\cup B}. Sabemos que
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}.
Logo a expressão vira
(\overline{A}\cap\overline{B})\cap(C\cup\overline{A}).

Passo 3

Usamos agora a distributividade da interseção sobre a união, que diz
X\cap(Y\cup Z)=(X\cap Y)\cup(X\cap Z).
Aqui X=\overline{A}\cap\overline{B}, Y=C e Z=\overline{A}. Portanto
(\overline{A}\cap\overline{B})\cap(C\cup\overline{A}) =(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)\;\cup\;(\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{A}).

Passo 4

Note que \overline{A}\cap\overline{A}=\overline{A}. Assim o segundo termo fica
\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{A} =\overline{A}\cap\overline{B}.
Então a união é
(\overline{A}\cap\overline{B}\cap C)\;\cup\;(\overline{A}\cap\overline{B}) =\overline{A}\cap\overline{B},
pois \overline{A}\cap\overline{B} já contém \overline{A}\cap\overline{B}\cap C.

Passo 5

Por fim reconhecemos de volta a Lei de De Morgan invertida:
\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}.

Resposta

\overline{A\cup B}

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