Verdadeiro ou falso: A área da região limitada pelos gráficos de y=x^{3}, y=12-x^{2} e x=0 é igual a 52 / 3 ?

Passo 1

O enunciado pergunta a área da região limitada pelas curvas y=x^{3}, y=12-x^{2} e pela reta vertical x=0. O conteúdo aqui é “cálculo de área sob curvas” usando a fórmula
\text{área} = \int_{a}^{b} \bigl(\text{função superior} - \text{função inferior}\bigr)\,dx.áçãçã

Passo 2

Precisamos encontrar onde as duas curvas se intersectam, ou seja, resolver
x^{3} = 12 - x^{2}
que equivale a
x^{3} + x^{2} - 12 = 0.
Testando raízes inteiras, achamos x=2. Como o polinômio só tem essa raiz real, o intervalo de integração é de x=0 até x=2.

Passo 3

No intervalo [0,2], a curva superior é y=12 - x^{2} e a inferior é y=x^{3}. Logo, a área é
A = \int_{0}^{2}\bigl[(12 - x^{2}) - x^{3}\bigr]\,dx.

Passo 4

Calculando a integral, obtemos como antiderivada
F(x) = 12x - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}.
Então
A = F(2) - F(0) = \Bigl(12\cdot2 - \frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{4}}{4}\Bigr) - 0 = 24 - \frac{8}{3} - 4.

Passo 5

Fazendo as contas:
24 - 4 = 20, \quad 20 - \frac{8}{3} = \frac{60}{3} - \frac{8}{3} = \frac{52}{3}.
Portanto, a área é \tfrac{52}{3}.

Resposta

Verdadeiro.

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