Determine e esboce os domínios das funções dadas
f(x, y)=\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função de duas variáveis
f(x,y)=\sqrt{xy}
O conteúdo aqui é “domínio de funções de duas variáveis” e a condição de existência de uma raiz quadrada real, isto é, o radicando deve ser não negativo.

Passo 2

Para que a raiz quadrada seja real, precisamos ter
xy \ge 0

Passo 3

A desigualdade xy \ge 0 se satisfaz exatamente quando x e y têm o mesmo sinal ou um deles é zero. Em outras palavras, existem duas possibilidades:
  • x\ge 0 e y\ge 0, ou
  • x\le 0 e y\le 0.
Logo o domínio é a união desses dois conjuntos, incluindo as fronteiras x=0 e y=0.

Passo 4

Para esboçar o domínio, desenhe o plano (x,y) e sombreie:
  1. O primeiro quadrante, onde x\ge 0 e y\ge 0.
  2. O terceiro quadrante, onde x\le 0 e y\le 0.
    Inclua também as retas x=0 e y=0, pois nelas xy=0 e a raiz está definida.

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy\ge 0\} =\bigl\{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\ge 0\bigr\}\,\cup\,\bigl\{(x,y)\mid x\le 0,\;y\le 0\bigr\}.

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