CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
RETAS
e eixo - X
RETAS
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes curvas/retas e pede a área limitada por elas:
- a reta
, - as retas verticais
e , - e o eixo
(ou seja, a reta ).
A pergunta é: calcular a área da região fechada por essas quatro fronteiras.
Passo 2
Entender qual é a região que temos que calcular:
- As bordas verticais são
(lado esquerdo) e (lado direito). Portanto o domínio horizontal da região é o intervalo . - Para saber qual curva fica em cima e qual embaixo nesse intervalo, avalio a reta
em e em : -
. -
.
Isso mostra que, em todo o intervalo, a reta tem valores positivos (entre e ), enquanto o eixo é .
-
- Conclusão: entre
e a função que fica acima é e a função de baixo é . Logo a região buscada é a área sob a reta e acima do eixo , para entre e .
Passo 3
Aplicar o conceito de área entre curvas (aula rápida):
- Se uma região no plano é limitada à esquerda por
, à direita por , por cima por uma função e por baixo por , então a área dessa região é
Aqui:
-
é a variável horizontal; e são os limites horizontal esquerdo e direito (no problema e ); -
é a função que tem o maior valor de em cada entre e ; -
é a função menor (a “base” da região).
No nosso casoe , com e .
Também vale lembrar a fórmula prática de integração de polinômios: para constantes
e
,
Assim, para
a primitiva será
(vou mostrar isso no próximo passo).
Passo 4
Calcular a integral que dá a área:
Encontro uma antiderivada (primitiva) de
:
Agora avalio entre os limites
e
:
Passo 5
Verificação rápida por interpretação geométrica (checo por segurança):
- A região entre
e tem, na vertical, alturas e . É um trapézio com bases e e altura , cuja área é
o que confirma o resultado obtido pela integral.