CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
RETAS y=-2 x+3, \quad x=0, \quad x=1 \quad e eixo - X

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes curvas/retas e pede a área limitada por elas:
  • a reta y=-2x+3,
  • as retas verticais x=0 e x=1,
  • e o eixo x (ou seja, a reta y=0).
A pergunta é: calcular a área da região fechada por essas quatro fronteiras.

Passo 2

Entender qual é a região que temos que calcular:
  • As bordas verticais são x=0 (lado esquerdo) e x=1 (lado direito). Portanto o domínio horizontal da região é o intervalo [0,1].
  • Para saber qual curva fica em cima e qual embaixo nesse intervalo, avalio a reta y=-2x+3 em x=0 e em x=1:
    • y(0) = -2\cdot 0 + 3 = 3.
    • y(1) = -2\cdot 1 + 3 = 1.
      Isso mostra que, em todo o intervalo [0,1], a reta y=-2x+3 tem valores positivos (entre 3 e 1), enquanto o eixo x é y=0.
  • Conclusão: entre x=0 e x=1 a função que fica acima é y=-2x+3 e a função de baixo é y=0. Logo a região buscada é a área sob a reta y=-2x+3 e acima do eixo x, para x entre 0 e 1.

Passo 3

Aplicar o conceito de área entre curvas (aula rápida):
  • Se uma região no plano é limitada à esquerda por x=a, à direita por x=b, por cima por uma função y_{\text{top}}(x) e por baixo por y_{\text{bot}}(x), então a área A dessa região é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui:
  • x é a variável horizontal; a e b são os limites horizontal esquerdo e direito (no problema a=0 e b=1);
  • y_{\text{top}}(x) é a função que tem o maior valor de y em cada x entre a e b;
  • y_{\text{bot}}(x) é a função menor (a “base” da região).
    No nosso caso y_{\text{top}}(x) = -2x+3 e y_{\text{bot}}(x)=0, com a=0 e b=1.
Também vale lembrar a fórmula prática de integração de polinômios: para constantes c e k,
\int c\,dx = c x,\qquad \int kx\,dx = \frac{k}{2}x^2.
Assim, para \int (-2x+3)\,dx a primitiva será -x^2+3x (vou mostrar isso no próximo passo).

Passo 4

Calcular a integral que dá a área:
A=\int_{0}^{1}\bigl(-2x+3\bigr)\,dx.
Encontro uma antiderivada (primitiva) de -2x+3:
\int(-2x+3)\,dx = \int(-2x)\,dx + \int 3\,dx = -2\cdot\frac{x^2}{2} + 3x = -x^2 + 3x.
Agora avalio entre os limites 0 e 1:
A=\bigl[-x^2+3x\bigr]_{0}^{1} = \bigl(-1^2+3\cdot1\bigr)-\bigl(-0^2+3\cdot0\bigr) = (-1+3)-0 = 2.

Passo 5

Verificação rápida por interpretação geométrica (checo por segurança):
  • A região entre x=0 e x=1 tem, na vertical, alturas y(0)=3 e y(1)=1. É um trapézio com bases 3 e 1 e altura 1, cuja área é
\text{Área do trapézio} = \text{base horizontal}\times\frac{\text{altura}_1+\text{altura}_2}{2} = 1\cdot\frac{3+1}{2} = 2,Áé
o que confirma o resultado obtido pela integral.

Resposta

2

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