Calcule a área limitada por
e
e plote o gráfico nos pontos.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a área limitada pelas curvas
,
, e pelas retas verticais
e
. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente na parte de encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar saber calcular integrais e identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, temos que descobrir qual das duas funções,
ou
, está por cima no intervalo de
a
. Para isso, igualamos as duas equações e resolvemos para
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
e
. Isso significa que as curvas se cruzam nesses pontos. Agora, vamos verificar qual função está acima em cada intervalo:
- De
a - De
a - De
a
Passo 3
Vamos testar um valor em cada intervalo para ver qual função está por cima.
-
De
a : Testando:
Aqui,
está acima de
.
-
De
a : Testando:
Aqui,
está acima de
.
-
De
a : Testando:
Aqui,
está novamente acima de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área em cada um desses intervalos e somar tudo no final.
- De
a :
A função de cima ée a de baixo é . A área é:
Calculando a integral:
- De
ax = -1 :x = 3
A função de cima é e a de baixo éy = 2x + 8 . A áreay = x^2 + 5 é:A2
Calculando a integral:
- De
ax = 3 :x = 5
A função de cima é e a de baixo éy = x^2 + 5 . A áreay = 2x + 8 é:A3
Calculando a integral:
Somando todas as áreas:
Resposta
A área delimitada pelas curvas é de 25 unidades quadradas.