Calcule a área limitada por y=x^2+5, y=2 x+8, x=-2 e x=5 e plote o gráfico nos pontos.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a área limitada pelas curvas y = x^2 + 5 , y = 2x + 8 , e pelas retas verticais x = -2 e x = 5 . Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente na parte de encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar saber calcular integrais e identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, temos que descobrir qual das duas funções, y = x^2 + 5 ou y = 2x + 8 , está por cima no intervalo de x = -2 a x = 5 . Para isso, igualamos as duas equações e resolvemos para x :
x^2 + 5 = 2x + 8
x^2 - 2x - 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
x = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, x = 3 e x = -1 . Isso significa que as curvas se cruzam nesses pontos. Agora, vamos verificar qual função está acima em cada intervalo:
  • De x = -2 a x = -1
  • De x = -1 a x = 3
  • De x = 3 a x = 5

Passo 3

Vamos testar um valor em cada intervalo para ver qual função está por cima.
  1. De x = -2 a x = -1 :
    Testando x = -2 :
y = (-2)^2 + 5 = 4 + 5 = 9
y = 2(-2) + 8 = -4 + 8 = 4
Aqui, y = x^2 + 5 está acima de y = 2x + 8 .
  1. De x = -1 a x = 3 :
    Testando x = 0 :
y = 0^2 + 5 = 5
y = 2(0) + 8 = 8
Aqui, y = 2x + 8 está acima de y = x^2 + 5 .
  1. De x = 3 a x = 5 :
    Testando x = 4 :
y = 4^2 + 5 = 16 + 5 = 21
y = 2(4) + 8 = 8 + 8 = 16
Aqui, y = x^2 + 5 está novamente acima de y = 2x + 8 .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área em cada um desses intervalos e somar tudo no final.
  1. De x = -2 a x = -1 :
    A função de cima é y = x^2 + 5 e a de baixo é y = 2x + 8 . A área A1 é:
A1 = integral-2^-1 ( (x^2 + 5) - (2x + 8) ) dx = integral-2^-1 (x^2 - 2x - 3) dx
Calculando a integral:
x^33 - x^2 - 3x |-2^-1 = ( -13 -1 +3 ) - ( -83 -4 +6 ) = 113
  1. De x = -1 a x = 3 :
    A função de cima é y = 2x + 8 e a de baixo é y = x^2 + 5 . A área A2 é:
A2 = integral-1^3 ( (2x + 8) - (x^2 + 5) ) dx = integral-1^3 (-x^2 + 2x + 3) dx
Calculando a integral:
-x^33 + x^2 + 3x |-1^3 = 323
  1. De x = 3 a x = 5 :
    A função de cima é y = x^2 + 5 e a de baixo é y = 2x + 8 . A área A3 é:
A3 = integral3^5 ( (x^2 + 5) - (2x + 8) ) dx = integral3^5 (x^2 - 2x - 3) dx
Calculando a integral:
x^33 - x^2 - 3x |3^5 = 323
Somando todas as áreas:
Atotal = A1 + A2 + A3 = 113 + 323 + 323 = 753 = 25

Resposta

A área delimitada pelas curvas é de 25 unidades quadradas.

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