Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais e , usando série de potências em torno de . Vamos supor
e determinar uma fórmula fechada para , separando termos pares e ímpares.
Passo 2
Calculamos as derivadas em série:
Além disso,
Substituindo em obtemos
Passo 3
Da condição de anulamento do coeficiente de segue a relação de recorrência
Passo 4
Separando em índices pares e ímpares:
Para ,
Para ,
Aqui definimos e usamos que .
Passo 5
Impondo e , a solução em série fica
Passo 6
Pelo teste da razão,
logo o raio de convergência é infinito e a solução vale para todo xinR.