Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^prime prime+x y^prime+2 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + x,y' + 2,y = 0,
com as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=-1, usando série de potências em torno de x=0. Vamos supor
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
e determinar uma fórmula fechada para an, separando termos pares e ímpares.

Passo 2

Calculamos as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1 =sumn=0^infty (n+1),an+1,x^n,
y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n
Além disso,
x,y'(x)=sumn=0^infty n,an,x^n
Substituindo em y''+x,y'+2y=0 obtemos
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2+n,an+2,anr]x^n=0

Passo 3

Da condição de anulamento do coeficiente de x^n segue a relação de recorrência
(n+2)(n+1),an+2 + (n+2),an = 0 Longrightarrow an+2 = -an,n+1,,, n>=0

Passo 4

Separando em índices pares e ímpares:
  • Para n=2k,
    a2k+2 = -a2k2k+1 ;Longrightarrow; a2k = a0,(-1)^kl(1cdot3cdot5cdots(2k-1)r)^-1 =a0(-1)^k(2k-1)!!
  • Para n=2k+1,
    a2k+3 = -a2k+12k+2 ;Longrightarrow; a2k+1 = a1,(-1)^k2^k,k!
Aqui definimos (2k-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2k-1) e usamos que
prodj=0^k-1(2j+2)=2^k k!.

Passo 5

Impondo y(0)=a0=4 e y'(0)=a1=-1, a solução em série fica
y(x) =4sumk=0^infty(-1)^k(2k-1)!!,x^2k ;+; (-1)sumk=0^infty(-1)^k2^k,k!,x^2k+1

Passo 6

Pelo teste da razão,
limntoinfty|an+2x^n+2an x^n| =limntoinfty|x|^2n+1=0 forall xinR,
logo o raio de convergência é infinito e a solução vale para todo xinR.

Resposta

A solução em série é
y(x)=4sumk=0^infty(-1)^k(2k-1)!!,x^2k ;-;sumk=0^infty(-1)^k2^k,k!,x^2k+1,
com termos gerais
a2k = 4,(-1)^k(2k-1)!!, a2k+1 = -1,(-1)^k2^k,k!,
válida para todo xinR.

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