Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
, em torno de
(esta equação é chamada equação de Airy)
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em série de potências centrada em
, a equação de Airy
obtendo uma fórmula fechada para o termo geral de cada série e indicando o intervalo de validade da solução. Vamos usar a técnica de série de potências: supondo
vamos determinar a recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Calculemos
e formemos
. Como
temos
Também
Então a equação
fica
Reindexando todas as somas para
com
leva ao sistema de coeficientes.
Passo 3
Igualando coeficiente de
temos
Para
, a condição de cancelamento do coeficiente de
dá a recorrência
Passo 4
Temos dois graus de liberdade:
e
. Isso gera duas soluções independentes em série:
onde as sequências
e
satisfazem a mesma recorrência acima, com condições iniciais
Assim o termo geral de cada série está dado recursivamente por
e a solução geral é
Passo 5
A equação de Airy não tem singularidades finitas no plano complexo, logo a série centrada em
converge para todo
.
Resposta
A solução geral em série de potências centrada em
é
com coeficientes dados por
onde
parte de
e
parte de
.
O raio de convergência é infinito, ou seja, a solução vale para todo .
O raio de convergência é infinito, ou seja, a solução vale para todo