Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^prime prime-x y=0, em torno de x=1 (esta equação é chamada equação de Airy)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em série de potências centrada em x0=1, a equação de Airy
y''-x,y=0,
obtendo uma fórmula fechada para o termo geral de cada série e indicando o intervalo de validade da solução. Vamos usar a técnica de série de potências: supondo
y(x)=sumn=0^inftyan(x-1)^n,
vamos determinar a recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Calculemos y'' e formemos y''-x,y. Como
y(x)=sumn=0^inftyant^n, t=x-1,
temos
y''=sumn=2^inftyn(n-1)ant^n-2
Também
x,y=(t+1)sumn=0^inftyant^n =sumn=0^inftyant^n+1+sumn=0^inftyant^n
Então a equação y''-x,y=0 fica
sumn=2^inftyn(n-1)ant^n-2 -sumn=0^inftyant^n+1 -sumn=0^inftyant^n =0
Reindexando todas as somas para t^m com m>=0 leva ao sistema de coeficientes.

Passo 3

Igualando coeficiente de t^0 temos
2cdot1,a2-a0=0 Longrightarrow a2=a02
Para m>=1, a condição de cancelamento do coeficiente de t^m dá a recorrência
(m+2)(m+1),am+2-am-1-am=0 Longrightarrow am+2=am+am-1(m+2)(m+1)

Passo 4

Temos dois graus de liberdade: a0 e a1. Isso gera duas soluções independentes em série:
y1(x)=sumn=0^inftyan^(1)(x-1)^n, y2(x)=sumn=0^inftyan^(2)(x-1)^n,
onde as sequências an^(1) e an^(2) satisfazem a mesma recorrência acima, com condições iniciais
a0^(1)=1, a1^(1)=0, a0^(2)=0, a1^(2)=1
Assim o termo geral de cada série está dado recursivamente por
a2=a02, an+2=an+an-1(n+2)(n+1), n>=1,
e a solução geral é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x)

Passo 5

A equação de Airy não tem singularidades finitas no plano complexo, logo a série centrada em x=1 converge para todo xinR.

Resposta

A solução geral em série de potências centrada em x=1 é
y(x)=C1sumn=0^inftyan^(1)(x-1)^n ;+; C2sumn=0^inftyan^(2)(x-1)^n,
com coeficientes dados por
a2=a02, an+2=an+an-1(n+2)(n+1),
onde an^(1) parte de (a0,a1)=(1,0) e an^(2) parte de (0,1).
O raio de convergência é infinito, ou seja, a solução vale para todo xinR.

Exercícios relacionados