Seja
um ponto singular para a equação diferencial
. Dizemos que
é um ponto singular regular se
é anaítica em
e
é analítica em
, isto é, se a singularidade dos coeficientes
e
pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por
e
. Com esta definição classifique os pontos singulares em regulares ou não regulares:
Passo 1
O enunciado pede para classificar os pontos singulares da equação
segundo a definição: um ponto
é singular regular se
e
são analíticas em
, onde a EDO está na forma padrão
Passo 2
Para colocar em forma padrão, dividimos toda a equação por
. Assim obtemos
Passo 3
Da forma padrão lemos
As únicas singularidades estão em
(denominadores nulos). Para
os coeficientes são analíticos, logo esses são pontos ordinários.
Passo 4
Verificamos a condição de singular regular em
. Calculamos
Nenhuma das duas é analítica em
(ambas têm polo de ordem 1). Portanto a singularidade em
não é removível nem via
nem via
.
Passo 5
Concluímos que
é um ponto singular irregular (não regular), e que não há outros pontos singulares além de
.
Resposta
O único ponto singular é
, e ele é singular irregular (não é um ponto singular regular).
Para todo a equação admite pontos ordinários.
Para todo