Seja x0 um ponto singular para a equação diferencial y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=0. Dizemos que x0 é um ponto singular regular se (x-x0) P(x) é anaítica em x0 e (x-x0)^2 Q(x) é analítica em x0, isto é, se a singularidade dos coeficientes P(x) e Q(x) pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por (x-x0) e (x-x0)^2. Com esta definição classifique os pontos singulares em regulares ou não regulares:
x^3 y^prime prime-2 x y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos singulares da equação
x^3y''-2x,y'+5y=0
segundo a definição: um ponto x0 é singular regular se (x-x0)P(x) e (x-x0)^2Q(x) são analíticas em x0, onde a EDO está na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0

Passo 2

Para colocar em forma padrão, dividimos toda a equação por x^3. Assim obtemos
y''-2x^2,y'+5x^3,y=0

Passo 3

Da forma padrão lemos
P(x)=-2x^2, Q(x)=5x^3
As únicas singularidades estão em x=0 (denominadores nulos). Para xneq0 os coeficientes são analíticos, logo esses são pontos ordinários.

Passo 4

Verificamos a condição de singular regular em x0=0. Calculamos
x,P(x)=-2x, x^2Q(x)=5x
Nenhuma das duas é analítica em x=0 (ambas têm polo de ordem 1). Portanto a singularidade em x=0 não é removível nem via (x-0) nem via (x-0)^2.

Passo 5

Concluímos que x=0 é um ponto singular irregular (não regular), e que não há outros pontos singulares além de x=0.

Resposta

O único ponto singular é x=0, e ele é singular irregular (não é um ponto singular regular).
Para todo xneq0 a equação admite pontos ordinários.

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