Calcule a área paraboloide hiperbólico
que fica dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paraboloide hiperbólico, que é dado pela equação
, dentro de um cilindro definido por
. Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e mudar para coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície definida por
, usamos a fórmula da integral dupla:
Aqui,
é a região sobre a qual vamos calcular a área, que no nosso caso é o interior do cilindro
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Agora, para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área
em coordenadas polares vira
. Além disso, a região
passa a ser
e
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples: seja
, então
, ou
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando
:
Sabendo que
e
:
Passo 8
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Resposta
A área do paraboloide hiperbólico
dentro do cilindro
é
unidades de área.