Calcule a área paraboloide hiperbólico z=x y que fica dentro do cilindro x^2+y^2=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um paraboloide hiperbólico, que é dado pela equação z = x y , dentro de um cilindro definido por x^2 + y^2 = 8 . Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e mudar para coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a área de uma superfície definida por z = f(x, y) , usamos a fórmula da integral dupla:
A = integral duplaD raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dx , dy
Aqui, D é a região sobre a qual vamos calcular a área, que no nosso caso é o interior do cilindro x^2 + y^2 = 8 .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) = x y :
partial fpartial x = y e partial fpartial y = x
Substituindo na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + y^2 + x^2 , dx , dy

Passo 4

Agora, para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta e y = r sin theta
E o elemento de área dx , dy em coordenadas polares vira r , dr , dtheta . Além disso, a região D passa a ser 0 <= r <= raiz8 e 0 <= theta <= 2pi .

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
A = integral0^2pi integral0^raiz8 raiz1 + r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r :
integral0^raiz8 r raiz1 + r^2 , dr
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples: seja u = 1 + r^2 , então du = 2r , dr , ou du2 = r , dr .

Passo 7

Substituindo na integral:
12 integralu=1^u=1+8 raizu , du = 12 integral1^9 u^1/2 , du
Integrando u^1/2 :
12 [ 23 u^3/2 ]1^9 = 13 ( 9^3/2 - 1^3/2 )
Sabendo que 9^3/2 = 27 e 1^3/2 = 1 :
13 (27 - 1) = 263

Passo 8

Agora, voltamos à integral externa em relação a theta :
A = integral0^2pi 263 , dtheta = 263 cdot 2pi = 52pi3

Resposta

A área do paraboloide hiperbólico z = x y dentro do cilindro x^2 + y^2 = 8 é 52pi3 unidades de área.

Exercícios relacionados