Sendo
, determine uma parametrização
da esfera de raio
, determine o plano tangente da superfície no ponto
e calcule a área desta esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente fazer três coisas:
- Parametrizar uma esfera de raio
. - Encontrar o plano tangente à esfera num ponto específico.
- Calcular a área dessa esfera.
Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo Diferencial. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a esfera. Uma esfera de raio
centrada na origem é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação:
Para parametrizar isso, usamos as coordenadas esféricas. Definimos dois parâmetros: o ângulo polar
(que vai de
a
) e o ângulo azimutal
(que vai de
a
). A parametrização fica assim:
Então, a função
leva os parâmetros
e
para as coordenadas
na esfera.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o plano tangente à esfera no ponto
.
Primeiro, identificamos o ponto
na esfera. O plano tangente em um ponto de uma superfície pode ser encontrado usando o vetor normal à superfície nesse ponto.
Como a esfera é centrada na origem, o vetor normal no ponto
é simplesmente o próprio vetor posição de
, ou seja:
A equação do plano tangente é dada por:
Onde
e
. Substituindo:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a área da esfera. A área de uma esfera de raio
é dada pela fórmula conhecida:
Mas, se quisermos derivar isso usando a parametrização, podemos integrar sobre os parâmetros
e
.
A área elementar em coordenadas esféricas é:
Então, a área total é:
Resposta
A parametrização da esfera é
. O plano tangente no ponto
é
. A área da esfera é
.