Sendo r in R, r>0, determine uma parametrização sigma:[0, pi] times[0,2 pi] R^3 da esfera de raio r, determine o plano tangente da superfície no ponto (0, r raiz22, r raiz22) e calcule a área desta esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente fazer três coisas:
  1. Parametrizar uma esfera de raio r .
  2. Encontrar o plano tangente à esfera num ponto específico.
  3. Calcular a área dessa esfera.
Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo Diferencial. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a esfera. Uma esfera de raio r centrada na origem é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) que satisfazem a equação:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
Para parametrizar isso, usamos as coordenadas esféricas. Definimos dois parâmetros: o ângulo polar theta (que vai de 0 a pi ) e o ângulo azimutal phi (que vai de 0 a 2pi ). A parametrização fica assim:
sigma(theta, phi) = ( r sintheta cosphi, r sintheta sinphi, r costheta )
Então, a função sigma leva os parâmetros theta e phi para as coordenadas x, y, z na esfera.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o plano tangente à esfera no ponto (0, r raiz22, r raiz22) .
Primeiro, identificamos o ponto P = (0, r raiz22, r raiz22) na esfera. O plano tangente em um ponto de uma superfície pode ser encontrado usando o vetor normal à superfície nesse ponto.
Como a esfera é centrada na origem, o vetor normal no ponto P é simplesmente o próprio vetor posição de P , ou seja:
N = (0, r raiz22, r raiz22)
A equação do plano tangente é dada por:
N cdot (r - r0) = 0
Onde r = (x, y, z) e r0 = P . Substituindo:
0(x - 0) + r raiz22(y - r raiz22) + r raiz22(z - r raiz22) = 0
Simplificando:
r raiz22(y + z - r raiz2) = 0
Dividindo ambos os lados por r raiz22 :
y + z - r raiz2 = 0
Então, a equação do plano tangente é:
y + z = r raiz2

Passo 4

Por fim, vamos calcular a área da esfera. A área de uma esfera de raio r é dada pela fórmula conhecida:
A = 4pi r^2
Mas, se quisermos derivar isso usando a parametrização, podemos integrar sobre os parâmetros theta e phi .
A área elementar em coordenadas esféricas é:
dA = r^2 sintheta dtheta dphi
Então, a área total é:
A = integral0^2pi integral0^pi r^2 sintheta dtheta dphi = r^2 integral0^2pi dphi integral0^pi sintheta dtheta = 4pi r^2

Resposta

A parametrização da esfera é sigma(theta, phi) = ( r sintheta cosphi, r sintheta sinphi, r costheta ) . O plano tangente no ponto (0, r raiz22, r raiz22) é y + z = r raiz2 . A área da esfera é 4pi r^2 .

Exercícios relacionados