Calcule a integral de superfície integral duplaS 13 x^2 y z d S, onde S é a parte do plano z=2-2 x+2 y que está acima do retângulo [0,3] times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
integral duplaS13x^2y,z,dS,
onde S é o pedaço do plano
z = 2 - 2x + 2y
acima do retângulo R = [0,3]times[0,2] no plano xy.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar sobre gráfico de função de duas variáveis. Vamos parametrizar a superfície, usar a fórmula
dS = llvert rx times ryrrvert,dA
e reduzir a uma integral dupla em R.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(x,y) = l(x,;y,;2-2x+2yr),
com (x,y)in R. Então
rx = l(1,,0,,-2r), ry = l(0,,1,,2r)
O produto vetorial tem norma
llvert rxtimes ry rrvert = raiz(-2)^2 + (2)^2 + 1^2 = raiz4+4+1 =3
Logo
dS = 3,dx,dy

Passo 3

Na integral de superfície substituímos z=2-2x+2y e dS=3,dx,dy. O fator tfrac13 cancela em parte o 3 de dS:
13,z,dS = 13,(2-2x+2y),3,dx,dy = (2-2x+2y),dx,dy
Então a integral vira
integral duplaRx^2,y,(2-2x+2y),dx,dy

Passo 4

Expandindo o integrando:
x^2y,(2-2x+2y) =2x^2y - 2x^3y + 2x^2y^2
Assim
I = integralx=0^3!integraly=0^2l(2x^2y - 2x^3y + 2x^2y^2r),dy,dx

Passo 5

Fazemos primeiro a integral em y:
integral0^22x^2y,dy = 2x^2cdoty^22|0^2 = 2x^2cdot2 =4x^2,
integral0^2-2x^3y,dy = -2x^3cdoty^22|0^2 = -2x^3cdot2 = -4x^3,
integral0^22x^2y^2,dy = 2x^2cdoty^33|0^2 = 2x^2cdot83 = 163x^2
Somando,
integral0^2(2x^2y -2x^3y +2x^2y^2),dy =4x^2 -4x^3 +163x^2 =283x^2 -4x^3

Passo 6

Agora integramos em x:
I = integral0^3l(283x^2 -4x^3r),dx = 283cdotx^33|0^3 -4cdotx^44|0^3 = 283cdot9 - 81 =84 -81 =3

Resposta

O valor da integral de superfície é 3.

Exercícios relacionados