Sendo S o elipsóide x^2+y^24+z^29=1, calcule o fluxo de F(x, y, z)=y sen x imath+sen(x z) jmath+y z cos x k, ou seja, calcule integral duplaS F cdot d S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=l(ysin x,;sin(xz),;yzcos xr) através da superfície fechada S definida pelo elipsóide
x^2+y^24+z^29=1
Como S é uma superfície fechada que envolve o volume E interno ao elipsóide, vamos usar o Teorema da Divergência, que diz:
integral duplaSFcdot dS =integral triplaEl(nablacdotFr),dV

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial xl(ysin xr) +partialpartial yl(sin(xz)r) +partialpartial zl(yzcos xr)
Como partialx(ysin x)=ycos x, partialy[sin(xz)]=0 e partialz(yzcos x)=ycos x, obtemos
nablacdotF=ycos x+ycos x=2ycos x

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaSFcdot dS =integral triplaE2ycos x,dV
Note que o domínio E é o interior do elipsóide, que é simétrico em relação ao plano y=0.

Passo 4

A função 2ycos x é ímpar em y (isto é, troca de y por -y muda o sinal da função), enquanto o domínio E é simétrico em y. Logo, a integral de uma função ímpar sobre um domínio simétrico em relação ao eixo y é zero:
integral triplaE2ycos x,dV=0

Resposta

O fluxo de F através de S é 0.

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