Seja r in R, r>0, Cr o caminho circular do plano, percorrido no sentido anti-horário, com centro na origem e com raio r, e F(x, y)=1x^2+y^2(-y, x),(x, y) in R^2,(x, y) neq(0,0). Considere um caminho fechado C do plano percorrido no sentido anti-horário (orientação positiva) tal que delimita uma região D que contenha o caminho circular Cr (com centro na origem e raio r ). Temos que o caminho fechado de orientação positiva
A=C cup(-Cr)
é a fronteira da região A=D-Br=(x, y) in D ;(x, y) notin Br, onde Br=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2<r^2. Deste modo, calcule
integralA F cdot d r e integralC F cdot d r

Passo 1

O enunciado define o campo de vetores
F(x,y)=1x^2+y^2(-y,x) em R^2setminus(0,0)
e os caminhos circulares Cr (raio r), um caminho fechado C que contém Cr e
A=Ccup(-Cr), que é a fronteira de Dsetminus Br.
Precisamos calcular integralA Fcdot dr e integralC Fcdot dr.
O conteúdo envolve aplicação do Teorema de Green e parametrização de curvas.

Passo 2

No interior da região limitada por A não há singularidade, então pelo Teorema de Green
integralA Fcdot dr =integral duplaDsetminus Brl(partial F2partial x-partial F1partial yr),dA
Calculamos
partial F2partial x =partialpartial xl(xx^2+y^2r) =y^2-x^2(x^2+y^2)^2, partial F1partial y =partialpartial yl(-yx^2+y^2r) =-x^2+y^2(x^2+y^2)^2,
logo
partial F2partial x-partial F1partial y =0 Longrightarrow integralA Fcdot dr=0

Passo 3

Para depois relacionar com integralC Fcdot dr, calculamos
integralCrFcdot dr por parametrização
x=rcos t, y=rsin t, dr=(-rsin t,rcos t),dt, tin[0,2pi]
Então
F(rcos t,rsin t) =1r^2(-rsin t,rcos t) =l(-sin tr,cos trr)
e
integralCrFcdot dr =integral0^2pil(-tfracsin trcdot(-rsin t) +tfraccos trcdot(rcos t)r),dt =integral0^2pi(sin^2t+cos^2t),dt =2pi

Passo 4

Como A=Ccup(-Cr) com orientação positiva, tem-se
integralA Fcdot dr =integralC Fcdot dr+integral-CrFcdot dr =integralC Fcdot dr-integralCrFcdot dr
Como integralA Fcdot dr=0 e integralCrFcdot dr=2pi, obtemos
integralC Fcdot dr=2pi.

Resposta

integralA Fcdot dr=0, integralC Fcdot dr=2pi

Exercícios relacionados