Calcule a área do paralelogramo A B C D de diagonais A C, B D, tais que A C= (1,-2,3), D B=(-3,4,1).

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo ABCD sabendo as diagonais AC=(1,-2,3) e DB=(-3,4,1). O conteúdo é geometria vetorial: expressar os lados em função das diagonais e usar produto vetorial para achar a área.

Passo 2

Em um paralelogramo, tome AB=p e AD=q. Então
AC=p+q,
DB=p-q
Como AC=(1,-2,3) e DB=(-3,4,1), obtemos o sistema
p+q=(1,-2,3),
p-q=(-3,4,1)

Passo 3

Somando as duas equações:
2p = (1,-2,3)+(-3,4,1)=(-2,2,4) Longrightarrow p = (-1,1,2)
Subtraindo a segunda equação da primeira:
2q = (1,-2,3)-(-3,4,1)=(4,-6,2) Longrightarrow q = (2,-3,1)

Passo 4

A área do paralelogramo é o módulo de ptimes q. Calculamos
ptimes q = i & j & k -1 & 1 & 2 2 & -3 & 1 = (1cdot1 - 2cdot(-3)),i -(-1cdot1 - 2cdot2),j +(-1cdot(-3) - 1cdot2),k = (7,5,1)

Passo 5

O módulo de (7,5,1) é
raiz7^2 + 5^2 + 1^2 = raiz49 + 25 + 1 = raiz75 = 5raiz3

Resposta

A área do paralelogramo é 5raiz3.

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