Seja v=(r+alpha s) wed>=(2 r+s), alpha in R,|r|=raiz2,|s|=1, ang<=(r, s)=3 pi4. Calcule alpha tal que |v|=1.

Passo 1

O enunciado define
v=(r+alphas)wed>=(2r+s)
com alphainR, lvertrrvert=raiz2, lvertsrvert=1 e ang<=(r,s)=3pi/4.
Queremos achar alpha tal que lvertvrvert=1.
Conteúdo envolvido: produto vetorial e identidade
lvert uwed>=wrvert^2 =lverturvert^2lvertwrvert^2-(ucdotw)^2

Passo 2

Calcular o produto interno rcdots a partir dos módulos e do ângulo:
rcdots =lvertrrvert,lvertsrvertcosl(3pi/4r) =raiz2cdot1cdotl(-tfracraiz22r) =-1

Passo 3

Defina A=r+alphas e B=2r+s.
Então
lvertArvert^2 =lvertrrvert^2+2alpha(rcdots)+alpha^2lvertsrvert^2 =2+2alpha(-1)+alpha^2 =alpha^2-2alpha+2,
lvertBrvert^2 =4lvertrrvert^2+4(rcdots)+lvertsrvert^2 =4cdot2+4(-1)+1 =5,
AcdotB =(r+alphas)cdot(2r+s) =2lvertrrvert^2+(rcdots)+2alpha(scdotr)+alphalvertsrvert^2 =4-1-2alpha+alpha =3-alpha

Passo 4

Use a identidade do produto vetorial:
lvertvrvert^2 =lvertAwed>=Brvert^2 =lvertArvert^2lvertBrvert^2-(AcdotB)^2
Substituindo os valores:
lvertvrvert^2 =(alpha^2-2alpha+2)cdot5-(3-alpha)^2 =5alpha^2-10alpha+10-l(9-6alpha+alpha^2r) =4alpha^2-4alpha+1

Passo 5

Impondo lvertvrvert=1, isto é lvertvrvert^2=1, obtemos
4alpha^2-4alpha+1=1 Longrightarrow 4alpha^2-4alpha=0 Longrightarrow alpha( alpha-1)=0
Logo as soluções são alpha=0 ou alpha=1.

Resposta

alpha=0 ou alpha=1.

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