Prove que (a-b) wed>=(a+b)=2 a wed>= b e, com isso, mostre que (a | b) Leftrightarrow (a-b) |(a+b).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que
(a-b) wed>= (a+b) ;=; 2,awed>= b
  1. Usar essa identidade para concluir que
aparal<=l b Long<=ftrightarrow (a-b)paral<=l(a+b)
O conteúdo usado será a bilinearidade e anticomutatividade do produto vetorial ( wed>=) e o fato de que dois vetores são paralelos se, e somente se, seu produto vetorial é zero.

Passo 2

Expandimos usando bilinearidade:
(a-b) wed>= (a+b) = awed>=a ;+;awed>=b ;-;bwed>=a ;-;bwed>=b
Agora usamos as propriedades:
  1. awed>=a=0 e bwed>=b=0 (produto vetorial de um vetor por si mesmo é zero).
  2. bwed>=a=-,awed>=b (anticomutatividade).
    Logo
(a-b) wed>= (a+b) = 0 + awed>=b -(-awed>=b) - 0 = 2,awed>=b

Passo 3

Do critério de paralelismo: dois vetores u e v são paralelos se, e somente se,
uwed>=v=0
Aplicando a u=a-b e v=a+b, temos
(a-b)paral<=l(a+b) Long<=ftrightarrow (a-b)wed>=(a+b)=0 oversetPasso 2Long<=ftrightarrow 2,awed>=b=0
Como 2neq0, isso equivale a awed>=b=0, ou seja,
aparal<=lb

Resposta

  1. (a-b) wed>= (a+b)=2,awed>=b
  2. aparal<=lbiff(a-b)paral<=l(a+b)

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