Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u=(1,2,3) e v=(3,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores u = (1, 2, 3) e v = (3, -2, 1). Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área de paralelogramos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores u e v resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor resultante representa a área do paralelogramo formado por u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v. Para vetores em R^3, a fórmula é:
u times v = i & j & k 1 & 2 & 3 3 & -2 & 1

Passo 4

Calculando o determinante:
u times v = i(2 cdot 1 - 3 cdot (-2)) - j(1 cdot 1 - 3 cdot 3) + k(1 cdot (-2) - 2 cdot 3)
= i(2 + 6) - j(1 - 9) + k(-2 - 6)
= i(8) - j(-8) + k(-8)
= 8i + 8j - 8k

Passo 5

Agora, temos o vetor resultante do produto vetorial: u times v = (8, 8, -8). Para encontrar a área do paralelogramo, precisamos calcular a magnitude desse vetor.

Passo 6

A magnitude de um vetor (a, b, c) é dada por:
|u times v| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando os valores:
|u times v| = raiz8^2 + 8^2 + (-8)^2 = raiz64 + 64 + 64 = raiz192

Passo 7

Simplificando raiz192:
raiz192 = raiz64 times 3 = raiz64 times raiz3 = 8raiz3

Resposta

A área do paralelogramo é 8raiz3 unidades de área.

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