Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área de um paralelogramo definido pelos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área de paralelogramos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor resultante representa a área do paralelogramo formado por e .
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Para vetores em , a fórmula é:
Passo 4
Calculando o determinante:
u times v = i(2 cdot 1 - 3 cdot (-2)) - j(1 cdot 1 - 3 cdot 3) + k(1 cdot (-2) - 2 cdot 3)
= i(2 + 6) - j(1 - 9) + k(-2 - 6)
= i(8) - j(-8) + k(-8)
= 8i + 8j - 8k
Passo 5
Agora, temos o vetor resultante do produto vetorial: u times v = (8, 8, -8). Para encontrar a área do paralelogramo, precisamos calcular a magnitude desse vetor.