Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A=(7,-5) e cujo centro é o ponto de interseção das retas L1: 7 x-9 y-10=0 e L2: 2 x-5 y+2=0.

Passo 1

Estamos procurando a equação da circunferência cujo centro é a interseção das retas
7x - 9y - 10 = 0
e
2x - 5y + 2 = 0
e que passe pelo ponto A=(7,-5).
O que precisamos: (1) achar o centro C=(h,k) resolvendo o sistema das duas retas; (2) calcular o raio r pela distância de C até A; (3) usar a forma (x-h)^2+(y-k)^2=r^2.

Passo 2

Resolvendo o sistema
7x - 9y - 10 = 0,
2x - 5y + 2 = 0,
multiplicamos a primeira por 2 e a segunda por 7, obtendo
14x - 18y = 20,
14x - 35y = -14
Subtraindo a segunda da primeira vem
(-18y) - (-35y) = 20 - (-14) Longrightarrow 17y = 34 Longrightarrow y = 2
Substituindo em 2x - 5y + 2 = 0
2x - 5cdot2 + 2 = 0 Longrightarrow 2x - 10 + 2 = 0 Longrightarrow 2x = 8 Longrightarrow x = 4
Logo o centro é C=(4,2).

Passo 3

O raio é a distância de C=(4,2) até A=(7,-5):
r = raiz(7-4)^2 + (-5-2)^2 = raiz3^2 + (-7)^2 = raiz9 + 49 = raiz58
Portanto r^2 = 58.

Passo 4

Substituindo h=4, k=2 e r^2=58 na forma canônica da circunferência, obtemos
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 58

Resposta

(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 58

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