Considere a esfera
. Qual o raio
de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação de uma esfera:
. O que queremos é descobrir o raio dessa esfera. Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado, que é uma forma de reescrever a equação na forma padrão da esfera e, assim, encontrar o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar os termos para deixar os de cada variável juntos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis
,
e
.
Para
:
Temos . Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
(que é 1) e elevamos ao quadrado:
Temos
Então, adicionamos e subtraímos
:
Passo 4
Para
:
Temos . Metade de -6 é -3 e elevando ao quadrado:
Temos
Adicionamos e subtraímos 9:
Passo 5
Para
:
Temos . Metade de 5 é
e elevando ao quadrado:
Temos
Adicionamos e subtraímos
:
Passo 6
Substituindo tudo de volta na equação original:
Passo 7
Vamos somar todos os termos constantes do lado esquerdo:
Então a equação fica:
Passo 8
Isolando os termos quadrados:
Passo 9
Agora temos a equação na forma padrão da esfera:
Onde
, então o raio
é:
Resposta
O raio
da esfera
é 4.