Considere a esfera lambda: x^2+y^2+z^2+x-6 y+5 z=12. Qual o raio r de lambda?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação de uma esfera: x^2 + y^2 + z^2 + x - 6y + 5z = 12 . O que queremos é descobrir o raio dessa esfera. Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado, que é uma forma de reescrever a equação na forma padrão da esfera e, assim, encontrar o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar os termos para deixar os de cada variável juntos:
x^2 + x + y^2 - 6y + z^2 + 5z = 12

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis x, y e z.
Para x:
Temos x^2 + x. Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de x (que é 1) e elevamos ao quadrado:
(12)^2 = 14
Então, adicionamos e subtraímos 14:
x^2 + x + 14 - 14 = (x + 12)^2 - 14

Passo 4

Para y:
Temos y^2 - 6y. Metade de -6 é -3 e elevando ao quadrado:
(-3)^2 = 9
Adicionamos e subtraímos 9:
y^2 - 6y + 9 - 9 = (y - 3)^2 - 9

Passo 5

Para z:
Temos z^2 + 5z. Metade de 5 é 52 e elevando ao quadrado:
(52)^2 = 254
Adicionamos e subtraímos 254:
z^2 + 5z + 254 - 254 = (z + 52)^2 - 254

Passo 6

Substituindo tudo de volta na equação original:
(x + 12)^2 - 14 + (y - 3)^2 - 9 + (z + 52)^2 - 254 = 12

Passo 7

Vamos somar todos os termos constantes do lado esquerdo:
-14 - 9 - 254 = -14 - 364 - 254 = -624 = -312
Então a equação fica:
(x + 12)^2 + (y - 3)^2 + (z + 52)^2 - 312 = 12

Passo 8

Isolando os termos quadrados:
(x + 12)^2 + (y - 3)^2 + (z + 52)^2 = 12 + 312 = 322 = 16

Passo 9

Agora temos a equação na forma padrão da esfera:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2
Onde r^2 = 16, então o raio r é:
r = raiz16 = 4

Resposta

O raio r da esfera lambda é 4.

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