Prove que os vetores u=(1,0,2) e v=(0,1,-1) são ortogonais.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para provar que os vetores u = (1, 0, 2) e v = (0, 1, -1) são ortogonais. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente ao estudo de vetores e produto escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois vetores serem ortogonais e como calcular o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. O produto escalar é uma operação que multiplica as componentes correspondentes de dois vetores e depois soma esses resultados.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u e v. Se tivermos u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3), o produto escalar é dado por:
u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2 + u3 times v3

Passo 4

Aplicando as componentes dos vetores que temos:
u cdot v = (1) times (0) + (0) times (1) + (2) times (-1)
Calculando cada termo:
1 times 0 = 0 0 times 1 = 0 2 times (-1) = -2
Então:
u cdot v = 0 + 0 + (-2) = -2

Passo 5

Como o produto escalar u cdot v = -2 não é igual a zero, isso significa que os vetores u e v não são ortogonais.

Resposta

Os vetores u = (1, 0, 2) e v = (0, 1, -1) não são ortogonais porque o produto escalar entre eles é igual a -2, diferente de zero.

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