Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores \vec{u}=(3,1,2) e \vec{v}= (1, -2, 0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores \vec{u}=(3,1,2) e \vec{v}=(1,-2,0). Sabendo que essa área é dada pela norma do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}, vamos primeiro encontrar \vec{u}\times\vec{v} e depois calcular sua magnitude.

Passo 2

Para calcular o produto vetorial usamos a definição coordenada a coordenada:
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1\bigr).
Substituindo \vec{u}=(3,1,2) e \vec{v}=(1,-2,0):
\vec{u}\times\vec{v} = \bigl(1\cdot0 - 2\cdot(-2),\;2\cdot1 - 3\cdot0,\;3\cdot(-2) - 1\cdot1\bigr) = (4,\,2,\,-7).

Passo 3

A área do paralelogramo é
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 4 + 49} = \sqrt{69}.

Resposta

\sqrt{69}

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