Verifique se os vetores \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,-1,1) e \vec{c}=(3,1,5) são coplanares, utilizando o produto misto.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,-1,1) e \vec{c}=(3,1,5) são coplanares usando produto misto. O conteúdo aqui é que três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto
\vec{a}\cdot\bigl(\vec{b}\times\vec{c}\bigr)
for igual a zero. Para isso, precisamos calcular primeiro \vec{b}\times\vec{c} e depois o produto escalar com \vec{a}.
Passo 2
Calculemos o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c} pela regra do determinante:
Como o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é igual a -5, que não é zero, o paralelepípedo formado pelos três vetores tem volume diferente de zero. Logo os vetores não são coplanares.
Resposta
Os vetores não são coplanares, pois o produto misto vale -5\neq0.