Verifique se os vetores \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,-1,1) e \vec{c}=(3,1,5) são coplanares, utilizando o produto misto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores \vec{a}=(1,2,3), \vec{b}=(2,-1,1) e \vec{c}=(3,1,5) são coplanares usando produto misto. O conteúdo aqui é que três vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto
\vec{a}\cdot\bigl(\vec{b}\times\vec{c}\bigr)
for igual a zero. Para isso, precisamos calcular primeiro \vec{b}\times\vec{c} e depois o produto escalar com \vec{a}.

Passo 2

Calculemos o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c} pela regra do determinante:
\vec{b}\times\vec{c} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & 5 \end{vmatrix} =\mathbf{i}\bigl((-1)\cdot5 - 1\cdot1\bigr) -\mathbf{j}\bigl(2\cdot5 - 1\cdot3\bigr) +\mathbf{k}\bigl(2\cdot1 -(-1)\cdot3\bigr).
Isso dá
\vec{b}\times\vec{c} =( -6,\,-7,\,5).

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar de \vec{a} com esse resultado:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) =(1,2,3)\cdot(-6,-7,5) =1\cdot(-6) + 2\cdot(-7) + 3\cdot5 =-6 -14 +15 =-5.

Passo 4

Como o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é igual a -5, que não é zero, o paralelepípedo formado pelos três vetores tem volume diferente de zero. Logo os vetores não são coplanares.

Resposta

Os vetores não são coplanares, pois o produto misto vale -5\neq0.

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