Determine a área do triângulo de vértices A(1,0,0), B(2,1,1) e C(0,2,1) utilizando produto vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do triângulo cujos vértices são A(1,0,0), B(2,1,1) e C(0,2,1). O conteúdo principal aqui é geometria analítica no espaço e uso de produto vetorial para obter a área: basta determinar os vetores \mathbf{AB} e \mathbf{AC}, calcular o produto vetorial \mathbf{AB}\times\mathbf{AC}, encontrar sua norma e usar que a área do triângulo é metade dessa norma.

Passo 2

Primeiro calculamos os vetores a partir de A:
\mathbf{AB} = B - A = (2-1,\,1-0,\,1-0) = (1,\,1,\,1),
\mathbf{AC} = C - A = (0-1,\,2-0,\,1-0) = (-1,\,2,\,1).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial pelo determinante:
\mathbf{AB}\times\mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)\,\mathbf{i} -2\,\mathbf{j} +3\,\mathbf{k}.

Passo 4

A norma desse vetor é
\|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}.
Como a área do triângulo é metade dessa norma, temos
\text{Área} = \frac{1}{2}\,\|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}\| = \frac{\sqrt{14}}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{2}

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