Verifique que os vetores
\vec{u}=7 \vec{i}-3 \vec{j}+6 \vec{k}, \quad \vec{v}=3 \vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k}, \quad \vec{w}=6 \vec{i}-16 \vec{j}-15 \vec{k}
são ortogonais dois a dois, isto é, que \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{u} \cdot \vec{w}=\vec{v} \cdot \vec{w}=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que os vetores \vec{u}=7\vec{i}-3\vec{j}+6\vec{k}, \vec{v}=3\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k} e \vec{w}=6\vec{i}-16\vec{j}-15\vec{k}
são ortogonais dois a dois. O conteúdo envolvido é o produto escalar em \mathbb{R}^3 e a definição de vetores ortogonais.

Passo 2

Lembrando que, para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b} \;=\; a_1b_1 \;+\; a_2b_2 \;+\; a_3b_3.
Dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 3

Calcular \vec{u}\cdot\vec{v}. Como \vec{u}=(7,-3,6) e \vec{v}=(3,3,-2), temos
\vec{u}\cdot\vec{v} = 7\cdot3 + (-3)\cdot3 + 6\cdot(-2) = 21 - 9 - 12 = 0.

Passo 4

Calcular \vec{u}\cdot\vec{w}. Como \vec{w}=(6,-16,-15), segue
\vec{u}\cdot\vec{w} = 7\cdot6 + (-3)\cdot(-16) + 6\cdot(-15) = 42 + 48 - 90 = 0.

Passo 5

Calcular \vec{v}\cdot\vec{w}. Então
\vec{v}\cdot\vec{w} = 3\cdot6 + 3\cdot(-16) + (-2)\cdot(-15) = 18 - 48 + 30 = 0.

Resposta

Como todos os produtos escalares ficaram zero, concluímos que \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são ortogonais dois a dois.

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