Calcule a área do paralelogramo com vértices (-1,1,1),(12, 2,0) e (12,-2,0)

Passo 1

O enunciado dá três vértices de um paralelogramo em R^3:
A=(-1,1,1), B=l(tfrac12,2,0r), C=l(tfrac12,-2,0r)
Para achar a área, vamos usar que, se a e b são vetores formadores do paralelogramo, então
Área = l|atimes br| Á
Aqui escolhemos a=AB e b=AC.

Passo 2

Calcular os vetores AB e AC por subtração de coordenadas:
AB = B - A =l(tfrac12 -(-1),,2-1,,0-1r) =l(tfrac32,,1,,-1r),
AC = C - A =l(tfrac12 -(-1),,-2-1,,0-1r) =l(tfrac32,,-3,,-1r)

Passo 3

Calcular o produto vetorial ABtimesAC. Se u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3), então
utimesv =l(u2v3 - u3v2,;u3v1 - u1v3,;u1v2 - u2v1r)
Aplicando a AB e AC:
ABtimesAC =l(1cdot(-1)-(-1)cdot(-3),;(-1)cdottfrac32-tfrac32cdot(-1),;tfrac32cdot(-3)-1cdottfrac32r) =(-4,;0,;-6)

Passo 4

A área do paralelogramo é a norma desse vetor:
|ABtimesAC| =raiz(-4)^2 + 0^2 +(-6)^2 =raiz16 + 36 =raiz52 =2raiz13

Resposta

A área do paralelogramo é 2raiz13.

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