Determine uma equação vetorial, as equações paramétricas e as equações simétricas das retas dadas
A reta contendo os pontos (-2,1, 32) e (12, 2,0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos em R^3 a reta que passa pelos pontos
P1 = l(-2,,1,,tfrac32r) e P2 = l(tfrac12,,2,,0r)
O que queremos é:
1. A equação vetorial (forma ponto-direção).
2. As equações paramétricas (separando em x, y e z).
3. As equações simétricas (eliminando o parâmetro).
Vamos usar operações com vetores, subtração de pontos para achar o vetor direção, depois montar as representações pedidas.

Passo 2

Para achar o vetor direção vec d da reta, subtraímos P1 de P2:
vec d = P2 - P1 = l(tfrac12 -(-2),;2 - 1,;0 - tfrac32r) = l(tfrac52,;1,;-tfrac32r)
É comum eliminar frações por um fator comum; aqui podemos multiplicar por 2 e usar
vec d = (5,,2,,-3)

Passo 3

A equação vetorial (forma ponto-direção) é
vec r = vec r0 + t,vec d,
onde vec r0 é a posição de um ponto conhecido (p.ex. P1) e tinR. Assim:
vec r = llang<= -2,,1,,tfrac32rrang<= + tllang<= 5,,2,,-3rrang<=

Passo 4

Separando em coordenadas, obtemos as equações paramétricas:
x = -2 + 5t,[6pt] y = 1 + 2t,[6pt] z = tfrac32 - 3t ]

Passo 5

Para chegar às equações simétricas, isolamos t em cada uma:
t = x - (-2)5 = x+25, t = y - 12, t = z - tfrac32-3
Logo, a forma simétrica é
x+25 ;=;y-12 ;=;z-tfrac32-3

Resposta

Equação vetorial:
vec r = llang<= -2,,1,,tfrac32rrang<= + tllang<= 5,,2,,-3rrang<=, tinR
Equações paramétricas:
x = -2 + 5t, y = 1 + 2t, z = tfrac32 - 3t
Equações simétricas:
x+25 ;=;y-12 ;=;z-tfrac32-3

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