Calcule a área dos paralelogramos, cujos vértices são dados abaixo:
(0,0,0),(3,-1,2),(4,1,1) e (7,0,3).

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo determinado pelos vértices A=(0,0,0), B=(3,-1,2), C=(4,1,1) e D=(7,0,3). Como B+C=(3,-1,2)+(4,1,1)=(7,0,3)=D, vemos que o paralelogramo é gerado pelos vetores AB e AC. Para calcular a área, vamos usar a fórmula
Área = |ABtimesAC| Á

Passo 2

Definimos os vetores das arestas a partir de A:
AB = B - A = (3,-1,2) - (0,0,0) = (3,-1,2),
AC = C - A = (4,1,1) - (0,0,0) = (4,1,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ABtimesAC usando a regra do determinante em cada componente:
ABtimesAC = l((-1)cdot1 - 2cdot1,; -l(3cdot1 - 2cdot4r),;3cdot1 -(-1)cdot4r) = (-3,;5,;7)

Passo 4

A área do paralelogramo é o módulo desse produto vetorial:
|ABtimesAC| = raiz(-3)^2 + 5^2 + 7^2 = raiz9 + 25 + 49 = raiz83

Resposta

A área do paralelogramo é raiz83.

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