Dadas as retas e r2:=cx=s y=s-1 s in R: z=s-2
Mostre que as retas não são paralelas e não têm pontos em comum. Isto é, são reversas.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas retas em R^3 definidas por parâmetros t e s: r1:;x=t,;y=t+1,;z=-t+2 e r2:;x=s,;y=s-1,;z=s-2.
O objetivo é mostrar que essas retas não são paralelas (não têm vetores-diretor colineares) e não se intersectam (não há solução comum para t e s), provando que são reversas.
Passo 2
Extraímos os vetores-diretor de cada reta: v1=(1,1,-1) para r1 e v2=(1,1,1) para r2.
Duas retas são paralelas se existir lambdainR tal que v1=lambda v2.
Supondo v1=lambda v2 teríamos
(1,1,-1)=l(lambda,lambda,lambdar),
o que exige 1=lambda e -1=lambda simultaneamente, o que é impossível.
Logo, v1 e v2 não são colineares e as retas não são paralelas.
Passo 3
Para verificar interseção, supomos que existe um ponto comum e igualamos as coordenadas:
t=s, t+1=s-1, -t+2=s-2
Da primeira equação vem t=s. Substituindo na segunda:
t+1=t-1Longrightarrow1=-1,
que é uma contradição. Portanto não há (t,s) que satisfaça o sistema e as retas não se intersectam.
Resposta
As retas não são paralelas e não têm ponto em comum, logo são reversas.