Considere a reta r1 do R^3 de equações lx=t+1 y=raiz2 t-1, t in R e a z=t+1
reta r2 que é a interseção dos planos x+y-z=-1 e 2 x+y-2 z=-1:
Qual é o ângulo entre as retas r1 e r2 ?

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em R^3. Uma reta r1 está dada em forma paramétrica e a outra reta r2 é a interseção de dois planos. Para encontrar esse ângulo, precisamos extrair o vetor diretor de cada reta e depois usar o produto escalar para calcular theta, onde
costheta = |v1cdot v2||v1||v2|

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de r1 lendo os coeficientes de t na forma paramétrica
x=1+t, y=-1+raiz2,t, z=1+t
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v1 = (1,;raiz2,;1)

Passo 3

Para achar o vetor diretor de r2, usamos o fato de que ele é perpendicular aos vetores normais dos dois planos
n1 = (1,1,-1), n2 = (2,1,-2)
O vetor diretor v2 é dado por
v2 = n1 times n2 = l(1cdot(-2)-(-1)cdot1,; -l(1cdot(-2)-(-1)cdot2r),;1cdot1-1cdot2r) = (-1,,0,, -1)
Podemos usar a forma equivalente
v2 = (1,0,1)
pois qualquer múltiplo funciona.

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
v1cdot v2 = 1cdot1 + raiz2cdot0 + 1cdot1 = 2,
|v1| = raiz1^2 + (raiz2)^2 + 1^2 = raiz1+2+1 = 2, |v2| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2

Passo 5

Substituindo em costheta:
costheta = |2|2cdotraiz2 = 22raiz2 = 1raiz2 = raiz22
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theta = arccosl(tfracraiz22r) = pi4

Resposta

pi4

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