Dadas as retas r1:=cx=t y=t+1 z=-t+2 t in R e r2:=cx=s y=s-1 s in R: z=s-2
Determine a equação paramétrica de um plano paralelo às duas retas que contém a origem.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e pede uma equação paramétrica de um plano que (i) seja paralelo a ambas as retas e (ii) contenha a origem. O conteúdo aqui é geometria vetorial em (\mathbb{R}^3]: para construir um plano paralelo a duas retas basta tomar como direções do plano os vetores-direção das retas e escolher um ponto (aqui a origem).

Passo 2

Extraímos os vetores-direção de cada reta diretamente dos coeficientes de t e de s:
v1 = (1,,1,,-1) e v2 = (1,,1,,1)

Passo 3

Para garantir que esses vetores realmente geram um plano (e não uma única reta), verificamos que são linearmente independentes, por exemplo pelo produto vetorial:
v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & -1 1 & 1 & 1 = (1 cdot 1 - (-1) cdot 1),i - (1 cdot 1 - (-1) cdot 1),j + (1 cdot 1 - 1 cdot 1),k = (2,,-2,,0),
que é non-zero. Logo v1 e v2 formam de fato um plano em torno da origem.

Passo 4

Um plano que contenha a origem e seja paralelo a r1 e r2 é simplesmente o conjunto de todas as combinações lineares de v1 e v2. Em forma paramétrica, usando parâmetros u,vinR,
l(x,y,zr) = u,(1,1,-1);+;v,(1,1,1)
Separando coordenadas, obtemos:
x = u + v, y = u + v, z = -,u + v

Resposta

boxed Plano: x = u + v, y = u + v, z = -u + v, u,vinR

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