Calcule a área da parte do cilindro
interior à bola
.
Escolha uma opção:
a) 4
b) 16
c)
d)
e)
Escolha uma opção:
a) 4
b) 16
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da parte do cilindro
que está dentro da esfera
. Basicamente, estamos lidando com geometria espacial aqui, trabalhando com cilindros e esferas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações dessas figuras e como elas se intersectam no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro
. Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular com raio 1, centrado em
, ou seja, ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora, olhamos para a esfera
. Ela tem raio 2 e está centrada na origem
. Queremos encontrar a área da parte do cilindro que está dentro dessa esfera.
Passo 4
Para encontrar os pontos de interseção entre o cilindro e a esfera, substituímos a equação do cilindro na da esfera:
Substituindo
na equação da esfera:
Isso significa que o cilindro está completamente dentro da esfera na direção
.
Passo 5
A área de um cilindro lateral é dada por
, onde
é o raio e
é a altura. No nosso caso, o raio
e a altura
(de
a
).
Passo 6
No entanto, notamos que o cilindro está deslocado em relação ao centro da esfera. Portanto, precisamos considerar a parte específica que está dentro da esfera. A área real será menor do que
.
Para isso, podemos calcular a área usando integrais, considerando a interseção das duas figuras.
Passo 7
Parametrizando o cilindro:
A área diferencial do cilindro é
.
Integrando sobre
de
a
e
de
a
, que simplifica para
:
Passo 8
Comparando com as opções fornecidas:
a) 4
b) 16
c)
d)
e)
Nenhuma das opções corresponde a
. Parece que houve um erro no cálculo. Vamos reconsiderar o intervalo de
.
Passo 9
Na verdade, a altura onde o cilindro está dentro da esfera não vai de
a
, mas sim de
a
, já que
.
Então, recalculando:
Ainda assim, nenhuma das opções corresponde a esse valor. É possível que o exercício tenha uma simplificação ou aproximação. Observando as opções, a mais próxima seria
, mas de acordo com nossos cálculos, nenhuma opção está correta.
Resposta
Nenhuma das opções fornecidas está correta com base nos cálculos realizados.