Calcule a área da parte do cilindro x^2+y^2=2 x interior à bola x^2+y^2+z^2 <= 4.
Escolha uma opção:
a) 4
b) 16
c) 3 pi2
d) pi+raiz2
e) 5 pi4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da parte do cilindro x^2 + y^2 = 2x que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 4 . Basicamente, estamos lidando com geometria espacial aqui, trabalhando com cilindros e esferas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações dessas figuras e como elas se intersectam no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro x^2 + y^2 = 2x . Podemos reescrevê-la completando o quadrado:
x^2 - 2x + y^2 = 0 (x - 1)^2 + y^2 = 1
Isso mostra que o cilindro é um cilindro circular com raio 1, centrado em (1, 0, z) , ou seja, ao longo do eixo z .

Passo 3

Agora, olhamos para a esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 4 . Ela tem raio 2 e está centrada na origem (0, 0, 0) . Queremos encontrar a área da parte do cilindro que está dentro dessa esfera.

Passo 4

Para encontrar os pontos de interseção entre o cilindro e a esfera, substituímos a equação do cilindro na da esfera:
(x - 1)^2 + y^2 = 1 Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1 Rightarrow x^2 + y^2 - 2x = 0
Substituindo x^2 + y^2 na equação da esfera:
0 + z^2 <= 4 Rightarrow z^2 <= 4 Rightarrow -2 <= z <= 2
Isso significa que o cilindro está completamente dentro da esfera na direção z .

Passo 5

A área de um cilindro lateral é dada por 2pi r h , onde r é o raio e h é a altura. No nosso caso, o raio r = 1 e a altura h = 4 (de z = -2 a z = 2 ).
Área = 2pi (1)(4) = 8pi Á

Passo 6

No entanto, notamos que o cilindro está deslocado em relação ao centro da esfera. Portanto, precisamos considerar a parte específica que está dentro da esfera. A área real será menor do que 8pi .
Para isso, podemos calcular a área usando integrais, considerando a interseção das duas figuras.

Passo 7

Parametrizando o cilindro:
x = 1 + costheta y = sintheta z in [-2, 2]
A área diferencial do cilindro é dA = r , dtheta , dz = 1 cdot dtheta cdot dz .
Integrando sobre theta de 0 a 2pi e z de -raiz4 - (x^2 + y^2) a raiz4 - (x^2 + y^2) , que simplifica para z in [-raiz2, raiz2] :
Área = integral0^2pi integral-raiz2^raiz2 1 , dz , dtheta = integral0^2pi 2raiz2 , dtheta = 2raiz2 cdot 2pi = 4raiz2pi Á

Passo 8

Comparando com as opções fornecidas:
a) 4
b) 16
c) 3pi2
d) pi + raiz2
e) 5pi4
Nenhuma das opções corresponde a 4raiz2pi . Parece que houve um erro no cálculo. Vamos reconsiderar o intervalo de z .

Passo 9

Na verdade, a altura onde o cilindro está dentro da esfera não vai de -raiz2 a raiz2 , mas sim de -raiz4 - 1 = -raiz3 a raiz3 , já que x^2 + y^2 = 1 .
Então, recalculando:
Área = integral0^2pi integral-raiz3^raiz3 1 , dz , dtheta = integral0^2pi 2raiz3 , dtheta = 2raiz3 cdot 2pi = 4raiz3pi Á
Ainda assim, nenhuma das opções corresponde a esse valor. É possível que o exercício tenha uma simplificação ou aproximação. Observando as opções, a mais próxima seria 5pi4 , mas de acordo com nossos cálculos, nenhuma opção está correta.

Resposta

Nenhuma das opções fornecidas está correta com base nos cálculos realizados.

Exercícios relacionados