Considere o sistema descrito por y(t)=x(2 t+1).
É possível recuperar a saída obtida no Item 39a pela operação h(t) * x(t) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá um sistema descrito por
y(t)=x(2t+1)
e pergunta se a saída desse sistema pode ser obtida como
l(h * xr)(t)=integral-infty^inftyh(tau),x(t-tau),dtau
ou seja, se existe uma única resposta ao impulso h(t) tal que o sistema seja equivalente à convolução h*x. Para isso precisamos lembrar que representar um sistema como convolução com h(t) exige que ele seja linear e invariante no tempo (LTI).

Passo 2

Verificamos linearidade e invariança no tempo:
  1. Linearidade: se x1to y1 e x2to y2, então para alpha x1+beta x2
y(t)=(alpha x1+beta x2)l(2t+1r) =alpha,x1(2t+1)+beta,x2(2t+1) =alpha,y1(t)+beta,y2(t),
logo o sistema é linear.
  1. Invariância no tempo: supond o input deslocado x1(t)=x(t-t0), a saída seria
y1(t)=x1l(2t+1r) =xl(2t+1-t0r)
Por outro lado, já deslocar a saída original em t0
y(t-t0)=xl(2(t-t0)+1r) =xl(2t-2t0+1r)
Como
2t+1-t0 neq 2t-2t0+1
em geral, temos y1(t)neq y(t-t0). Ou seja, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 3

Como o sistema falha na propriedade de invariância no tempo, ele não é LTI. E só sistemas LTI admitem representação por convolução com uma resposta ao impulso h(t) que dependa apenas de tau.

Resposta

Não. Como o sistema não é invariante no tempo, não existe um único h(t) tal que y(t)=h*x(t).

Exercícios relacionados