Considere o seguinte problema: um fazendeiro deseja cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes iguais com cercas paralelas à de um dos lados do retangulo. Qual é a quantidade mínima de cerca que ele precisa para cercar o retângulo de área A? Qual é o perímetro de cada parte? (Utilize as tecnicas de otimização)

Passo 1

O fazendeiro quer cercar externamente um retângulo de área A e dividi-lo em quatro partes iguais com três trechos de cerca todos paralelos a um dos lados. Vamos chamar as dimensões do retângulo de x (horizontal) e y (vertical), de modo que
xy = A
Precisaremos expressar o comprimento total de cerca em função de x e y e depois usar otimização com restrição.

Passo 2

Sem perda de generalidade, suponha que as três cercas internas sejam paralelas ao lado vertical (de comprimento y). Então o comprimento total de cerca é
L = underbrace2x + 2ycontorno ;+;underbrace3ydivisórias = 2x + 5y ó
Como y = A/x, definimos
L(x) = 2x + 5,Ax
Para minimizar, calculamos L'(x) e igualamos a zero:
L'(x) = 2 ;-; 5,Ax^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 5A2 Longrightarrow x = raiz5A2
Então
y = Ax = raiz2A5
Como L''(x)=10A/x^3>0, é mínimo.

Passo 3

Substituindo x e y ótimos em L, obtemos
Lmin = 2raiz5A2 ;+;5raiz2A5 = 2raiz10A

Passo 4

Agora, cada uma das quatro partes é um retângulo de dimensões tfracx4times y. Seu perímetro é
Pparte = 2l(x4 + yr) = x2 + 2y
Substituindo x=raiztfrac5A2 e y=raiztfrac2A5,
Pparte = 12raiz5A2 ;+;2raiz2A5 = 13raiz1020,raizA

Resposta

O comprimento mínimo de cerca é
Lmin = 2raiz10A
O perímetro de cada uma das quatro partes vale
Pparte = 13raiz1020,raizA

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