Cálcule a área da parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Entendendo a questão: A gente precisa calcular a área da parte da esfera dada pela equação x^2+y^2+z^2=4 que está dentro do cone z=raizx^2+y^2 . Isso envolve geometria espacial, especificamente cálculo de áreas em superfícies tridimensionais. Vamos precisar usar coordenadas esféricas e integrar para encontrar a área desejada.

Passo 2

Visualizando as figuras: Primeiro, vamos imaginar a esfera de raio 2 centrada na origem. O cone z=raizx^2+y^2 tem um ângulo de 45 graus em relação ao eixo z. Queremos encontrar a área da esfera que está dentro desse cone, ou seja, a parte superior da esfera limitada pelo cone.

Passo 3

Mudando para coordenadas esféricas: Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde x = r sinphi costheta , y = r sinphi sintheta e z = r cosphi . Nesse caso, como a esfera tem raio 2, r = 2 .

Passo 4

Determinado o limite do ângulo phi: O cone z=raizx^2+y^2 em coordenadas esféricas fica z = r cosphi = r sinphi . Simplificando, cosphi = sinphi , o que implica que phi = 45^circ ou phi = pi4 radianos. Isso significa que a área que buscamos corresponde a 0 <= phi <= pi4 .

Passo 5

Fórmula da área em coordenadas esféricas: A área A em coordenadas esféricas é dada por:
A = integraltheta=0^2pi integralphi=0^pi4 r^2 sinphi , dphi , dtheta
Como r = 2 , substituímos na equação:
A = integral0^2pi integral0^pi4 (2)^2 sinphi , dphi , dtheta = 4 integral0^2pi integral0^pi4 sinphi , dphi , dtheta

Passo 6

Calculando a integral em phi: Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral0^pi4 sinphi , dphi = -cosphi |0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -(raiz22) + 1 = 1 - raiz22

Passo 7

Calculando a integral em theta: Agora, multiplicamos o resultado pela integral externa:
A = 4 times integral0^2pi (1 - raiz22) dtheta = 4 times (1 - raiz22) times 2pi = 8pi (1 - raiz22)

Passo 8

Simplificando a expressão final: Podemos fatorar 8pi :
A = 8pi (1 - raiz22) = 8pi - 4piraiz2

Resposta

A área da parte da esfera dentro do cone é 8pi - 4piraiz2 unidades de área.

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