Cálcule a área da parte da esfera que está dentro do cone .
Passo 1
Entendendo a questão: A gente precisa calcular a área da parte da esfera dada pela equação que está dentro do cone . Isso envolve geometria espacial, especificamente cálculo de áreas em superfícies tridimensionais. Vamos precisar usar coordenadas esféricas e integrar para encontrar a área desejada.
Passo 2
Visualizando as figuras: Primeiro, vamos imaginar a esfera de raio 2 centrada na origem. O cone tem um ângulo de 45 graus em relação ao eixo z. Queremos encontrar a área da esfera que está dentro desse cone, ou seja, a parte superior da esfera limitada pelo cone.
Passo 3
Mudando para coordenadas esféricas: Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde , e . Nesse caso, como a esfera tem raio 2, .
Passo 4
Determinado o limite do ângulo : O cone em coordenadas esféricas fica . Simplificando, , o que implica que ou radianos. Isso significa que a área que buscamos corresponde a .
Passo 5
Fórmula da área em coordenadas esféricas: A área em coordenadas esféricas é dada por:
Como , substituímos na equação:
Passo 6
Calculando a integral em : Vamos calcular a integral interna primeiro:
Passo 7
Calculando a integral em theta: Agora, multiplicamos o resultado pela integral externa:
A = 4 times integral0^2pi (1 - raiz22) dtheta = 4 times (1 - raiz22) times 2pi = 8pi (1 - raiz22)
Passo 8
Simplificando a expressão final: Podemos fatorar 8pi :
A = 8pi (1 - raiz22) = 8pi - 4piraiz2
Resposta
A área da parte da esfera dentro do cone é 8pi - 4piraiz2 unidades de área.