Use o Teorema de Green para calcular ointC y^2 d x+3 y d y onde C é a fronteira da região semianular D contida no semiplano superior entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ointC y^2 dx + 3 y dy usando o Teorema de Green. A região D é a área semicircular no semiplano superior entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial F = (P, Q) suave em uma região D com fronteira C , temos:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Nesse caso, nosso P = y^2 e Q = 3y . Precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(3y) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2) = 2y
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
ointC y^2 dx + 3y dy = integral duplaD (0 - 2y) dA = -2 integral duplaD y , dA

Passo 4

Para calcular a integral dupla integral duplaD y , dA , é conveniente usar coordenadas polares, já que a região D é entre dois círculos concêntricos e está no semiplano superior. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta e y = r sin theta
E o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta .

Passo 5

Definindo os limites de integração:
  • O raio r varia de 1 a 2 (entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 ).
  • O ângulo theta varia de 0 a pi (semiplano superior).
Então, a integral fica:
integral duplaD y , dA = integral0^pi integral1^2 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral1^2 r^2 sin theta , dr , dtheta

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a r :
integral1^2 r^2 , dr = [ r^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73
Agora, a integral externa em relação a theta :
73 integral0^pi sin theta , dtheta = 73 [ -cos theta ]0^pi = 73 ( -cos pi + cos 0 ) = 73 (1 + 1) = 143

Passo 7

Lembrando que:
ointC y^2 dx + 3y dy = -2 integral duplaD y , dA = -2 cdot 143 = -283

Resposta

O valor da integral é -dfrac283 .

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