Use o Teorema de Green para calcular
onde
é a fronteira da região semianular
contida no semiplano superior entre os círculos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. A região
é a área semicircular no semiplano superior entre os círculos
e
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
suave em uma região
com fronteira
, temos:
Nesse caso, nosso
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Para calcular a integral dupla
, é conveniente usar coordenadas polares, já que a região
é entre dois círculos concêntricos e está no semiplano superior. Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 5
Definindo os limites de integração:
- O raio
varia de 1 a 2 (entre os círculos e ). - O ângulo
varia de a (semiplano superior).
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Agora, a integral externa em relação a
:
Passo 7
Lembrando que:
Resposta
O valor da integral é
.