Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas e o que se pede:
- A integral dupla tem integração interna em
com limites a . - A integral externa é em
com limites a . - O integrando é
, que depende apenas de (não depende de ). - A tarefa é avaliar numericamente essa integral dupla.
Passo 2
Conceito importante (explicado bem mastigado): se uma função não depende da variável de integração interna, então a integral em relação a essa variável é simplesmente a função (como constante) multiplicada pelo comprimento do intervalo de integração. Em fórmulas:
onde
é vista como constante em relação a
. Isso vem direto da definição de integral como área/ soma: somamos a mesma altura
ao longo de um intervalo de comprimento
.
Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 3
Aplicando esse conceito à integral interna
: como
é constante em relação a
, temos
Passo 4
Assim a integral dupla reduz-se à integral simples
Agora precisamos calcular essa integral definida. Para integrar
usamos a técnica de integração por partes. Vou explicar isso direitinho.
Regra de integração por partes (fórmula): para duas funções
e
diferenciáveis,
Aqui
é a parte que escolhemos como diferencial e
é a derivada de
vezes
. A ideia prática é escolher
de modo que
fique mais simples (normalmente polinômios), e escolher
como algo cujo antiderivado
conhecemos facilmente (como
, senos, cossenos, etc.).
Passo 5
Escolha para a nossa integral
:
-
então . -
então (pois ).
Aplicando a fórmula:
Podemos também escrever a primitiva como
.
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida de
a
:
Calcule os extremos:
- Em
: . - Em
: .
Subtraindo: