\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} e^{x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} e^{x}\,dy\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A integral dupla tem integração interna em y com limites 0 a x.
  • A integral externa é em x com limites 0 a 2.
  • O integrando é e^{x}, que depende apenas de x (não depende de y).
  • A tarefa é avaliar numericamente essa integral dupla.

Passo 2

Conceito importante (explicado bem mastigado): se uma função não depende da variável de integração interna, então a integral em relação a essa variável é simplesmente a função (como constante) multiplicada pelo comprimento do intervalo de integração. Em fórmulas:
\int_{a}^{b} f(x)\,dy = f(x)\cdot (b-a),
onde f(x) é vista como constante em relação a y. Isso vem direto da definição de integral como área/ soma: somamos a mesma altura f(x) ao longo de um intervalo de comprimento b-a.
Exemplo rápido para fixar: \int_{0}^{3} 5\,dy = 5\cdot(3-0)=15.

Passo 3

Aplicando esse conceito à integral interna \int_{0}^{x} e^{x}\,dy: como e^{x} é constante em relação a y, temos
\int_{0}^{x} e^{x}\,dy = e^{x}\cdot (x-0) = x e^{x}.

Passo 4

Assim a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{0}^{2} x e^{x}\,dx.
Agora precisamos calcular essa integral definida. Para integrar \int x e^{x}\,dx usamos a técnica de integração por partes. Vou explicar isso direitinho.
Regra de integração por partes (fórmula): para duas funções u(x) e v(x) diferenciáveis,
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui dv é a parte que escolhemos como diferencial e du é a derivada de u vezes dx. A ideia prática é escolher u de modo que du fique mais simples (normalmente polinômios), e escolher dv como algo cujo antiderivado v conhecemos facilmente (como e^{x}dx, senos, cossenos, etc.).

Passo 5

Escolha para a nossa integral \int x e^{x}\,dx:
  • u = x então du = dx.
  • dv = e^{x}\,dx então v = e^{x} (pois \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}).
Aplicando a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Podemos também escrever a primitiva como \,e^{x}(x-1)+C.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x e^{x}\,dx = \left[ x e^{x} - e^{x} \right]_{0}^{2}.
Calcule os extremos:
  • Em x=2: 2 e^{2} - e^{2} = e^{2}.
  • Em x=0: 0\cdot e^{0} - e^{0} = -1.
Subtraindo:
\int_{0}^{2} x e^{x}\,dx = e^{2} - (-1) = e^{2} + 1.

Resposta

e^{2}+1

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