\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \sin x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \sin x \, d y \, d x.
Informações dadas:
\text{limites em }x: 0 \text{ a } \pi,\qquad \text{limites em }y: 0 \text{ a } 1,
e a função integranda é \sin x. Observação importante (apenas identificando dados): \sin x não depende de y.

Passo 2

Estratégia: avaliar a integral interna em y primeiro. Vou usar uma propriedade básica de integrais repetidas: se uma função é constante em relação à variável de integração, ela pode ser tratada como constante dentro dessa integral. Formalmente, para constante c,
\int_{a}^{b} c \, d y = c\,(b-a).
Aqui, para cada x fixo, \sin x é constante em y, então aplicamos essa propriedade.

Passo 3

Calculo da integral interna em y:
\int_{0}^{1} \sin x \, d y = \sin x \int_{0}^{1} d y = \sin x \,[y]_{0}^{1} = \sin x\,(1-0) = \sin x.
Expliquei: factorizei \sin x porque não depende de y, então restei com a integral de 1 em y, que é o comprimento do intervalo 1-0=1.

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{\pi} \sin x \, d x.
Vou achar uma primitiva de \sin x. Sabemos que a derivada de \cos x é -\sin x, portanto uma primitiva de \sin x é -\cos x. Assim,
\int_{0}^{\pi} \sin x \, d x = [-\cos x]_{0}^{\pi}.

Passo 5

Avaliação do resultado:
[-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - \big(-\cos(0)\big).
Como \cos(\pi) = -1 e \cos(0)=1, temos
-\cos(\pi) = -(-1) = 1,\qquad -\cos(0) = -1,
então
[-\cos x]_{0}^{\pi} = 1 - (-1) = 2.

Passo 6

Interpretação rápida (para fixar): integrar primeiro em y apenas multiplica \sin x pelo comprimento do intervalo em y (que é 1), então a integral dupla é igual à área sob a curva \sin x em [0,\pi], que é conhecida como 2. Segura aí — você conseguiu!

Resposta

2

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