Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
e a função integranda é
. Observação importante (apenas identificando dados):
não depende de
.
Passo 2
Estratégia: avaliar a integral interna em
primeiro. Vou usar uma propriedade básica de integrais repetidas: se uma função é constante em relação à variável de integração, ela pode ser tratada como constante dentro dessa integral. Formalmente, para constante
,
Aqui, para cada
fixo,
é constante em
, então aplicamos essa propriedade.
Passo 3
Calculo da integral interna em
:
Expliquei: factorizei
porque não depende de
, então restei com a integral de
em
, que é o comprimento do intervalo
.
Passo 4
Agora a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Vou achar uma primitiva de
. Sabemos que a derivada de
é
, portanto uma primitiva de
é
. Assim,
Passo 5
Avaliação do resultado:
Como
e
, temos
então
Passo 6
Interpretação rápida (para fixar): integrar primeiro em
apenas multiplica
pelo comprimento do intervalo em
(que é
), então a integral dupla é igual à área sob a curva
em
, que é conhecida como
. Segura aí — você conseguiu!