Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente descobrir onde a função $ f $ é contínua. Estamos lidando com conceitos de limites e continuidade em funções de duas variáveis. Vamos analisar a função em todo o seu domínio para ver onde ela mantém a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Para todo ponto
que não seja
, a função está definida como uma fração de polinômios. Sabemos que polinômios são contínuos onde estão definidos, e como
para
, a função
é contínua nesses pontos.
Passo 3
Agora, o ponto chave é
. Aqui,
está definida como zero. Para garantir que
é contínua nesse ponto, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.
Passo 4
Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
À medida que
, o termo
também tende a 0, independentemente do ângulo
. Portanto:
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, concluímos que
é contínua em
.
Resposta
A função $ f $ é contínua em todos os pontos do plano
.