Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f.
f(x, y)=ccx^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente descobrir onde a função $ f $ é contínua. Estamos lidando com conceitos de limites e continuidade em funções de duas variáveis. Vamos analisar a função em todo o seu domínio para ver onde ela mantém a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x, y) = x^3x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
Para todo ponto (x, y) que não seja (0,0), a função está definida como uma fração de polinômios. Sabemos que polinômios são contínuos onde estão definidos, e como x^2 + y^2 > 0 para (x, y) neq (0,0), a função f(x, y) é contínua nesses pontos.

Passo 3

Agora, o ponto chave é (0,0). Aqui, f está definida como zero. Para garantir que f é contínua nesse ponto, precisamos verificar se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a f(0,0) = 0.

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. Substituindo na função:
f(r, theta) = (rcostheta)^3(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = r^3cos^3thetar^2(cos^2theta + sin^2theta) = r^3cos^3thetar^2 = rcos^3theta
À medida que r to 0, o termo rcos^3theta também tende a 0, independentemente do ângulo theta. Portanto:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 = f(0,0)

Passo 5

Como o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto, concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função $ f $ é contínua em todos os pontos do plano f .

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