Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f.
f(x, y)=3 x^2 y^2+6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir onde a função $ f(x, y) = 3x{2}y{2} + 6 $ é contínua. Vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e identificar em quais pontos do plano $ \mathbb{R}^2 $ essa função não tem “quebradas” ou “saltos”.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto. Para funções de duas variáveis, isso significa que não há interrupções ou buracos no gráfico da função próximo a qualquer ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(x, y) = 3x{2}y{2} + 6 $. Essa é uma função polinomial, porque envolve apenas potências inteiras não negativas de $ x $ e $ y $.

Passo 4

Por um fato importante na matemática, funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Isso acontece porque polinômios não têm divisões por zero, raízes de número negativo (que poderiam gerar números complexos), ou outros tipos de “interrupções”.

Passo 5

Como a função $ f(x, y) $ é um polinômio e está definida para todos os valores reais de $ x $ e $ y $, ela não apresenta pontos de descontinuidade em $ \mathbb{R}^2 $.

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de $ f $ é todo o plano $ \mathbb{R}^2 $. Ou seja, $ f $ é contínua para todos os valores de $ x $ e $ y $.

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