4- Calcule a área do pentágono em \mathbb{R}^{2} cujos vértices, quando percorridos no sentido anti-horário, são (0,0)(1,0)(100,2)(16,4)(0,3)

Passo 1

O enunciado pede a área do pentágono cujos vértices (lidos no sentido anti-horário) são (0,0), (1,0), (100,2), (16,4) e (0,3). Vamos usar a fórmula da área de um polígono simples em \mathbb{R}^2 (fórmula de Gauss, também chamada de “shoelace”).

Passo 2

Chame as coordenadas em ordem de (x_1,y_1) até (x_5,y_5) e feche o polígono definindo (x_6,y_6)=(x_1,y_1). A fórmula geral é:
A = \frac12 \Bigl|\sum_{i=1}^{5} x_i\,y_{i+1} \;-\;\sum_{i=1}^{5} y_i\,x_{i+1}\Bigr|.

Passo 3

Calcule cada soma:
\sum_{i=1}^{5} x_i\,y_{i+1} =0\cdot0 + 1\cdot2 + 100\cdot4 + 16\cdot3 + 0\cdot0 = 450,
\sum_{i=1}^{5} y_i\,x_{i+1} =0\cdot1 + 0\cdot100 + 2\cdot16 + 4\cdot0 + 3\cdot0 = 32.

Passo 4

Subtraia, tome o valor absoluto e multiplique por \tfrac12:
A = \frac12 \bigl|450 - 32\bigr| = \frac12 \cdot 418 = 209.

Resposta

209

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