2- Seja T o triangulo retângulo de vértices (0,0)(294,0)(0,30) percorrido no sentido anti-horário. Calcule \int_{T} \frac{x y^{2}}{2} d x+x^{2} y d y

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\displaystyle \oint_{T}\bigl(\tfrac{x\,y^{2}}{2}\,dx + x^{2}y\,dy\bigr)
ao longo do triângulo T com vértices (0,0), (294,0) e (0,30), percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo: usar o Teorema de Green para transformar a linha integral em uma integral dupla sobre a região triangular.

Passo 2

Denotemos
M(x,y)=\frac{x\,y^{2}}{2}, \quad N(x,y)=x^{2}y.
Como T é fechado e orientado positivamente (anti-horário), pelo Teorema de Green temos
\oint_{T}M\,dx + N\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o triângulo interior.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) =2x\,y, \qquad \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x\,y^{2}}{2}\Bigr) =x\,y.
Logo o integrando vira
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} =2xy - xy = x\,y.

Passo 4

O domínio D é o conjunto
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x/294 + y/30\le1\}.
Assim a integral fica
\iint_{D} x\,y\,dA =\int_{x=0}^{294}\!\int_{y=0}^{30\bigl(1-\tfrac{x}{294}\bigr)} x\,y\,dy\,dx.

Passo 5

Façamos primeiro a integral em y:
\int_{0}^{30(1-\tfrac{x}{294})}x\,y\,dy =x\;\frac{[\,y\,]_{0}^{30(1-\tfrac{x}{294})}^{2}}{2} =\frac{x}{2}\,\bigl[30\bigl(1-\tfrac{x}{294}\bigr)\bigr]^{2} =450\,x\!\left(1-\frac{x}{294}\right)^{2}.

Passo 6

Restou calcular
\int_{0}^{294}450\,x\Bigl(1-\tfrac{x}{294}\Bigr)^{2}dx.
Fazemos t = x/294, de modo que x=294\,t e dx=294\,dt. Quando x vai de 0 a 294, t vai de 0 a 1. A integral torna-se
450\cdot294^{2}\int_{0}^{1}t\,(1-t)^{2}dt.
Sabemos que
\int_{0}^{1}t\,(1-t)^{2}dt =\int_{0}^{1}(t - 2t^{2}+t^{3})dt =\frac12-\frac23+\frac14 =\frac{1}{12}.

Passo 7

Substituindo, obtemos
450\cdot294^{2}\cdot\frac{1}{12} =450\cdot\frac{294^{2}}{12} =450\cdot7203 =3241350.

Resposta

\displaystyle 3241350

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