2- Seja
o triangulo retângulo de vértices
percorrido no sentido anti-horário. Calcule
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
ao longo do triângulo com vértices
,
e
, percorrido no sentido anti-horário.
Conteúdo: usar o Teorema de Green para transformar a linha integral em uma integral dupla sobre a região triangular.
ao longo do triângulo
Conteúdo: usar o Teorema de Green para transformar a linha integral em uma integral dupla sobre a região triangular.
Passo 2
Denotemos
Como
é fechado e orientado positivamente (anti-horário), pelo Teorema de Green temos
onde
é o triângulo interior.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Logo o integrando vira
Passo 4
O domínio
é o conjunto
Assim a integral fica
Passo 5
Façamos primeiro a integral em
:
Passo 6
Restou calcular
Fazemos
, de modo que
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. A integral torna-se
Sabemos que
Passo 7
Substituindo, obtemos