5- Seja R a região dada por
\begin{gathered} \frac{x^{2}}{434^{2}}+\frac{y^{2}}{792^{2}} \leq 1 \\\ y \leq \frac{160}{434} x \end{gathered}
O centro de massa R tem a forma \left(x_{M}, y_{M}\right)=\left(\frac{A}{2424 \pi}, \frac{B}{2424 \pi}\right) para dois inteiros positivos A e B. Quais?

Passo 1

O enunciado dá a região
\frac{x^{2}}{434^{2}}+\frac{y^{2}}{792^{2}}\le1, \quad y\le\frac{160}{434}\,x,
que é a metade de uma elipse de semi-eixos a=434 e b=792 cortada por uma reta que passa pela origem. Queremos o centro de massa
\displaystyle (x_M,y_M)=\Bigl(\tfrac{A}{2424\pi},\tfrac{B}{2424\pi}\Bigr).
Para isso, usaremos a mudança para coordenadas elípticas
x=434\,r\cos\theta,\\ y=792\,r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e \theta variando num intervalo de medida \pi, e o jacobiano J=434\cdot792\,r.

Passo 2

Calculamos primeiro a área de R. Como a reta passa pelo centro da elipse, ela divide a área total \pi ab=\pi\cdot434\cdot792 exatamente ao meio. Logo
A(R)=\tfrac12\pi\cdot434\cdot792.

Passo 3

Nas mesmas coordenadas,
\iint_R x\,dA =\int_{\theta_0}^{\theta_0+\pi}\!\int_0^1(434r\cos\theta)\,(434\cdot792\,r)\,dr\,d\theta =434^2\cdot792\int_{\theta_0}^{\theta_0+\pi}\cos\theta\int_0^1r^2dr\,d\theta.
Como \int_0^1r^2dr=\tfrac13 e a reta y=(160/434)x corresponde ao ângulo
\varphi=\arctan\bigl(\tfrac{160}{434}\bigr)=\arctan\bigl(\tfrac{20}{99}\bigr), escolhemos o intervalo de \pi para que \int\cos\theta\,d\theta=2\sin\varphi. Assim
\iint_R x\,dA =\frac{434^2\cdot792}{3}\times2\sin\varphi =\frac{2}{3}\,434^2\,792\,\frac{20}{101}.

Passo 4

De modo análogo,
\iint_R y\,dA =\int_{\theta_0}^{\theta_0+\pi}\!\int_0^1(792r\sin\theta)\,(434\cdot792\,r)\,dr\,d\theta =\frac{434\cdot792^2}{3}\times(-2\cos\varphi) =\!-\frac{2}{3}\,434\,792^2\,\frac{99}{101}.

Passo 5

Agora
x_M=\frac{\iint_R x\,dA}{A(R)} =\frac{\tfrac{2}{3}\,434^2\,792\;\tfrac{20}{101}} {\tfrac12\pi\cdot434\cdot792} =\frac{4\cdot434\cdot20}{3\cdot101\,\pi} =\frac{34720}{303\pi} =\frac{277760}{2424\pi},
e
y_M=\frac{\iint_R y\,dA}{A(R)} =\frac{-\tfrac{2}{3}\,434\,792^2\;\tfrac{99}{101}} {\tfrac12\pi\cdot434\cdot792} =-\frac{4\cdot792\cdot99}{3\cdot101\,\pi} =-\frac{313632}{303\pi} =-\frac{2509056}{2424\pi}.

Resposta

A =277760
B = - 2509056

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