1. Calcule a área da porção do cilindro sigma(u, v)=(2 cos u, 2 sen u, v), dada por 0 <= u <= 2 pi e 0 <= v <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro descrito pela função paramétrica sigma(u, v) = (2 cos u, 2 sin u, v), onde u varia de 0 a 2pi e v vai de 0 a 2. Nosso objetivo é calcular a área dessa porção do cilindro.
Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas de superfícies usando parametrizações, um conceito de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função sigma(u, v) em relação a u e v. Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta nas direções u e v.
Calculando sigmau (derivada parcial em relação a u):
sigmau = ( partialpartial u(2 cos u), partialpartial u(2 sin u), partialpartial u(v) ) = (-2 sin u, 2 cos u, 0)
Calculando sigmav (derivada parcial em relação a v):
sigmav = ( partialpartial v(2 cos u), partialpartial v(2 sin u), partialpartial v(v) ) = (0, 0, 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, sigmau times sigmav. Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, e a magnitude desse vetor será usada para calcular a área.
Calculando sigmau times sigmav:
sigmau times sigmav = i & j & k -2 sin u & 2 cos u & 0 0 & 0 & 1 = (2 cos u)i + (2 sin u)j + 0k

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante, que é essencial para encontrar a área da superfície.
Calculando |sigmau times sigmav|:
|sigmau times sigmav| = raiz(2 cos u)^2 + (2 sin u)^2 + 0^2 = raiz4 cos^2 u + 4 sin^2 u = raiz4(cos^2 u + sin^2 u) = raiz4 cdot 1 = 2

Passo 5

Com a magnitude encontrada, agora podemos montar a integral dupla que representa a área da superfície:
Área = integral0^2pi integral0^2 2 , dv , du Á
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a v:
integral0^2 2 , dv = 2v |0^2 = 2(2) - 2(0) = 4
Agora, a integral fica:
integral0^2pi 4 , du

Passo 7

Agora, integramos em relação a u:
integral0^2pi 4 , du = 4u |0^2pi = 4(2pi) - 4(0) = 8pi

Resposta

A área da porção do cilindro é 8pi unidades de área.

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