Calcule a área da porção do cilindro , dada por e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro descrito pela função paramétrica , onde varia de a e vai de a . Nosso objetivo é calcular a área dessa porção do cilindro.
Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas de superfícies usando parametrizações, um conceito de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos ajudam a entender como a superfície se comporta nas direções e .
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, . Esse produto nos dá um vetor normal à superfície, e a magnitude desse vetor será usada para calcular a área.
Calculando :
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante, que é essencial para encontrar a área da superfície.
Calculando |sigmau times sigmav|:
|sigmau times sigmav| = raiz(2 cos u)^2 + (2 sin u)^2 + 0^2 = raiz4 cos^2 u + 4 sin^2 u = raiz4(cos^2 u + sin^2 u) = raiz4 cdot 1 = 2
Passo 5
Com a magnitude encontrada, agora podemos montar a integral dupla que representa a área da superfície: