Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
x^2+y^2+(z-1)^2 <= 1 e z >= x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido dado pela interseção da esfera
x^2+y^2+(z-1)^2<= 1
com a região acima do paraboloide
z>= x^2+y^2
O conteúdo principal é integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular volumes em regiões de revolução.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = rcostheta, y=rsintheta, z=z, x^2+y^2=r^2,
e o elemento de volume é dV=r,dz,dr,dtheta.
A esfera vira
r^2+(z-1)^2<=1 ;Longrightarrow; 1-raiz1-r^2<= z<=1+raiz1-r^2,
enquanto o paraboloide é z>= r^2. Para 0<= r<=1 verifica-se que
1-raiz1-r^2<= r^2<=1+raiz1-r^2,
logo, para cada rin[0,1], z varia de r^2 até 1+raiz1-r^2.

Passo 3

O volume é
V =integraltheta=0^2pi!integralr=0^1!integralz=r^2^,1+raiz1-r^2r,dz,dr,dtheta =2piintegral0^1!rl[l(1+raiz1-r^2r)-r^2r]dr

Passo 4

Separemos a integral em três partes:
integral0^1r,dr, integral0^1rraiz1-r^2,dr, integral0^1r^3,dr
  1. integral0^1r,dr=tfrac12
  2. Em I=integral0^1rraiz1-r^2,dr, faça u=1-r^2, du=-2r,dr, obtendo
I=tfrac12integral1^0raizu,(-du) =tfrac12integral0^1u^1/2du =tfrac12cdottfrac23 =tfrac13
  1. integral0^1r^3,dr=tfrac14

Passo 5

Reunindo em
V =2pil(tfrac12 +tfrac13 -tfrac14r) =2picdottfrac712 =tfrac7pi6

Resposta

7pi6

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