- A superficie parametrizada por
corresponde a um plano cuja equação cartesiana é
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar a equação cartesiana de um plano que tá parametrizado por
. Isso tá relacionado à matéria de Geometria Analítica, mais especificamente à parametrização de superfícies planas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma representação paramétrica em uma equação cartesiana.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da parametrização significa. A função
nos dá:
Essas equações relacionam as coordenadas
,
, e
com os parâmetros
e
.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar os parâmetros
e
para chegar a uma equação só em termos de
,
e
. Vamos começar resolvendo a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação para encontrar
:
Passo 4
Com
e
, vamos substituir esses valores na terceira equação:
Vamos simplificar isso:
Passo 5
Agora, queremos escrever a equação na forma padrão
. Vamos reorganizar a equação que encontramos:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Rearranjando:
Mas olhando as opções, parece que o sinal do lado direito está positivo. Então, multiplicamos ambos os lados por -1:
Resposta
A equação correta do plano é b)
.