1. A superficie parametrizada por sigma(u, v)=(2 v, 2 v-u, u+v+2) corresponde a um plano cuja equação cartesiana é
    a) 3 x+2 y-2 z=4.
    b) -3 x+2 y+2 z=4.
    c) 3 x-2 y-2 z=4.
    d) 3 x-2 y+2 z=4.
    e) -3 x-2 y+2 z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar a equação cartesiana de um plano que tá parametrizado por sigma(u, v) = (2v, 2v - u, u + v + 2). Isso tá relacionado à matéria de Geometria Analítica, mais especificamente à parametrização de superfícies planas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar uma representação paramétrica em uma equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da parametrização significa. A função sigma(u, v) = (x, y, z) nos dá:
x = 2v
y = 2v - u
z = u + v + 2
Essas equações relacionam as coordenadas x, y, e z com os parâmetros u e v.

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar os parâmetros u e v para chegar a uma equação só em termos de x, y e z. Vamos começar resolvendo a primeira equação para v:
x = 2v implies v = x2
Agora, substituímos v = x2 na segunda equação para encontrar u:
y = 2(x2) - u implies y = x - u implies u = x - y

Passo 4

Com u = x - y e v = x2, vamos substituir esses valores na terceira equação:
z = (x - y) + x2 + 2
Vamos simplificar isso:
z = x - y + x2 + 2 = 3x2 - y + 2

Passo 5

Agora, queremos escrever a equação na forma padrão Ax + By + Cz = D. Vamos reorganizar a equação que encontramos:
3x2 - y + 2 - z = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
3x - 2y + 4 - 2z = 0
Rearranjando:
3x - 2y - 2z = -4
Mas olhando as opções, parece que o sinal do lado direito está positivo. Então, multiplicamos ambos os lados por -1:
-3x + 2y + 2z = 4

Resposta

A equação correta do plano é b) -3 x+2 y+2 z=4.

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