Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Passo 1
O enunciado nos dá o volume de um sólido pelo integral triple
ou seja, o sólido é
O conteúdo é geometria de regiões em coordenadas cartesianas e superfície inclinada.
Passo 2
Primeiro achamos a projeção
desse sólido no plano
. Os limites são
Isso significa que, no plano
, a região
está entre a parábola
e a reta
, para
de
a
. Essas curvas se interceptam em
e
.
Passo 3
Vamos esboçar
:
- Desenhe o eixo
de a e o eixo . - Trace a parábola
e a reta . - Marque os pontos de interseção
e . - A região
é a “fita” limitada abaixo por e acima por .
Passo 4
Agora elevamos cada ponto
ao longo de
de
até o plano inclinado
Assim, o sólido fica “embaixo” desse plano e “em cima” do plano
, projetado sobre
.
Passo 5
Descrevendo as faces do sólido:
- Face inferior: plano
sobre . - Face superior: parte do plano
sobre a região . - Faces laterais curvas: cilíndricas ao longo de
e de , cada uma de até . - As “faces” em
e degeneram em segmentos de reta (pois aí varia de um ponto a outro).
No esboço 3D você verá algo como um “entalhe” curvo entre a parábola e a reta no chão, subindo até o plano inclinado
.
Resposta
O sólido é
isto é, a região no plano
limitada por
e
para
, erguida verticalmente até o plano inclinado
.