Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
integral0^2 integralx^2^2 x integral0^x+y d z d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá o volume de um sólido pelo integral triple
integral0^2integralx^2^2xintegral0^,x+ydz,dy,dx
ou seja, o sólido é
(x,y,z)mid 0<= x<=2,;x^2<= y<=2x,;0<= z<= x+y
O conteúdo é geometria de regiões em coordenadas cartesianas e superfície inclinada.

Passo 2

Primeiro achamos a projeção R desse sólido no plano xy. Os limites são
0<= x<=2, x^2<= y<=2x
Isso significa que, no plano xy, a região R está entre a parábola y=x^2 e a reta y=2x, para x de 0 a 2. Essas curvas se interceptam em (0,0) e (2,4).

Passo 3

Vamos esboçar R:
  1. Desenhe o eixo x de 0 a 2 e o eixo y.
  2. Trace a parábola y=x^2 e a reta y=2x.
  3. Marque os pontos de interseção (0,0) e (2,4).
  4. A região R é a “fita” limitada abaixo por y=x^2 e acima por y=2x.

Passo 4

Agora elevamos cada ponto (x,y)in R ao longo de z de 0 até o plano inclinado
z = x + y
Assim, o sólido fica “embaixo” desse plano e “em cima” do plano z=0, projetado sobre R.

Passo 5

Descrevendo as faces do sólido:
  • Face inferior: plano z=0 sobre R.
  • Face superior: parte do plano z=x+y sobre a região R.
  • Faces laterais curvas: cilíndricas ao longo de y=x^2 e de y=2x, cada uma de z=0 até z=x+y.
  • As “faces” em x=0 e x=2 degeneram em segmentos de reta (pois aí y varia de um ponto a outro).
No esboço 3D você verá algo como um “entalhe” curvo entre a parábola e a reta no chão, subindo até o plano inclinado z=x+y.

Resposta

O sólido é
(x,y,z)mid 0<= x<=2,;x^2<= y<=2x,;0<= z<= x+y,
isto é, a região no plano xy limitada por y=x^2 e y=2x para 0<= x<=2, erguida verticalmente até o plano inclinado z=x+y.

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