Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
Passo 1
Resumindo: queremos o volume do sólido definido pela interseção do cilindro
com o hemisfério
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas esféricas. Vamos usar
,
,
.
Passo 2
Em esféricas o elemento de volume é
e a esfera impõe
,
. O cilindro
vira
válido para
, isto é,
.
Passo 3
Para cada
dividimos a integração em dois casos de
:
- Se
( ), então vai de a . - Se
( ), então vai de a .
Então
onde
é a parte
e
a parte
.
Passo 4
Calculando
:
Para
:
Passo 5
Somando
e integrando em
:
Calculamos
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Passo 6
Substituindo de volta: