Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
(x-a)^2+y^2 <= a^2, x^2+y^2+z^2 <= 4 a^2, z >= 0 (a>0)

Passo 1

Resumindo: queremos o volume do sólido definido pela interseção do cilindro
(x-a)^2+y^2<= a^2
com o hemisfério
x^2+y^2+z^2<=4a^2, z>=0
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla em coordenadas esféricas. Vamos usar x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi.

Passo 2

Em esféricas o elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta e a esfera impõe 0<=rho<=2a, 0<=phi<=pi/2. O cilindro (x-a)^2+y^2<= a^2 vira
rho^2sin^2phi <= 2a,rhosinphicostheta Longrightarrow rho<= 2acosthetasinphi,
válido para costheta>0, isto é, thetain(-tfracpi2,tfracpi2).

Passo 3

Para cada thetain(-tfracpi2,tfracpi2) dividimos a integração em dois casos de phi:
  1. Se sinphi<=costheta ( phiin[0,tfracpi2-theta]), então rho vai de 0 a 2a.
  2. Se sinphi>costheta ( phiin[tfracpi2-theta,tfracpi2]), então rho vai de 0 a tfrac2acosthetasinphi.
Então
V =integral-pi/2^pi/2!integral0^pi/2!integral0^rhomax rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2integral0^pi/2!l(I1+I2r),dtheta,
onde I1 é a parte phiin[0,tfracpi2-theta] e I2 a parte phiin[tfracpi2-theta,tfracpi2].

Passo 4

Calculando I1:
I1 =integral0^pi/2-theta!integral0^2arho^2sinphi,drho,dphi =(2a)^33integral0^pi/2-thetasinphi,dphi =8a^33l[1-sinthetar]
Para I2:
I2 =integralpi/2-theta^pi/2!integral0^2acosthetasinphi rho^2sinphi,drho,dphi =8a^3cos^3theta3 integralpi/2-theta^pi/2!dphisin^2phi =8a^3cos^3theta3,tantheta =8a^3cos^2thetasintheta3

Passo 5

Somando I1+I2 e integrando em theta:
V =2integral0^pi/28a^33l[1-sintheta+cos^2thetasinthetar]dtheta =16a^33integral0^pi/2l[1-sintheta+cos^2thetasinthetar]dtheta
Calculamos
integral0^pi/21,dtheta=pi2, integral0^pi/2sintheta,dtheta=1, integral0^pi/2cos^2thetasintheta,dtheta=13,
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integral0^pi/2l[1-sintheta+cos^2thetasinthetar]dtheta =pi2-1+13 =pi2-23

Passo 6

Substituindo de volta:
V =16a^33l(pi2-23r) =8pi a^33-32a^39 =8a^3(3pi-4)9

Resposta

V=8a^3(3pi-4)9

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