Calcule a área da porção do cilindro
entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte do cilindro definido pela equação
que está entre os planos
e
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o cilindro e determinar os limites de integração com base nos planos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro
. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas. Podemos expressar
e
em termos de um ângulo
:
Como o cilindro é infinito em
, vamos precisar delimitar
entre os planos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os limites para
. Sabemos que
varia entre
e
. Usando nossa parametrização:
Então, para cada
,
vai de
até
.
Passo 4
A próxima coisa é calcular o elemento de área da superfície do cilindro. Para o cilindro
, o elemento de área
em coordenadas cilíndricas é simplesmente
, já que o raio é 1.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a área
:
Aqui,
varia de
a
para cobrir todo o cilindro, e
varia de
a
como vimos antes.
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em
:
Resposta
A área da porção do cilindro
entre os planos
e
é 0.