Calcule a área da porção do cilindro x^1 + y^2 = 1 entre os planos z = y e z = 2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma parte do cilindro definido pela equação que está entre os planos e . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar o cilindro e determinar os limites de integração com base nos planos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas cilíndricas. Podemos expressar e em termos de um ângulo :
Como o cilindro é infinito em , vamos precisar delimitar entre os planos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os limites para . Sabemos que varia entre e . Usando nossa parametrização:
Então, para cada , vai de até .

Passo 4

A próxima coisa é calcular o elemento de área da superfície do cilindro. Para o cilindro , o elemento de área em coordenadas cilíndricas é simplesmente , já que o raio é 1.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a área :
Aqui, varia de a para cobrir todo o cilindro, e varia de a como vimos antes.

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em :

Resposta

A área da porção do cilindro entre os planos e é 0.

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